Решение задачи №2: Найти sin(α + β)

Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. №2 1. Найти \(\sin(\alpha + \beta)\), если \(\sin \alpha = 0,6\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) и \(\sin \beta = 0,8\), \(0 < \beta < \frac{\pi}{2}\). Решение: Воспользуемся формулой синуса суммы: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Так как углы находятся в первой четверти, косинусы будут положительными. Найдем \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \] Найдем \(\cos \beta\): \[ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 \] Подставим значения в формулу: \[ \sin(\alpha + \beta) = 0,6 \cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,8 = 0,36 + 0,64 = 1 \] Ответ: 1. 2. Найти \(\sin(\alpha - \beta)\), если \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) и \(\sin \beta = -\frac{7}{25}\), \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\). Решение: Формула синуса разности: \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \] Угол \(\alpha\) в I четверти (\(\cos \alpha > 0\)), угол \(\beta\) в III четверти (\(\cos \beta < 0\)). Найдем \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Найдем \(\cos \beta\): \[ \cos \beta = -\sqrt{1 - (-\frac{7}{25})^2} = -\sqrt{1 - \frac{49}{625}} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \] Вычисляем: \[ \sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{24}{25}) - \frac{4}{5} \cdot (-\frac{7}{25}) = -\frac{72}{125} + \frac{28}{125} = -\frac{44}{125} = -0,352 \] Ответ: -0,352. 3. Найти \(\cos(\alpha + \beta)\), если \(\sin \beta = \frac{20}{29}\), \(\frac{\pi}{2} < \beta < \pi\) и \(\cos \alpha = -0,8\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Решение: Формула косинуса суммы: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] Оба угла во II четверти, значит \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \beta < 0\). Найдем \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - (-0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = 0,6 \] Найдем \(\cos \beta\): \[ \cos \beta = -\sqrt{1 - (\frac{20}{29})^2} = -\sqrt{1 - \frac{400}{841}} = -\sqrt{\frac{441}{841}} = -\frac{21}{29} \] Вычисляем (\(-0,8 = -\frac{4}{5}\), \(0,6 = \frac{3}{5}\)): \[ \cos(\alpha + \beta) = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{21}{29}) - \frac{3}{5} \cdot \frac{20}{29} = \frac{84}{145} - \frac{60}{145} = \frac{24}{145} \] Ответ: \(\frac{24}{145}\).