Решение задания 1: Контрольная работа, Вариант II

Контрольная работа. Вариант II. Задание 1. Найдите значение выражения: а) \( 3\sin^2 \frac{\pi}{2} - 4\text{tg}^2 \frac{\pi}{4} - 3\cos^2 \frac{\pi}{6} + 3\text{ctg}^2 \frac{\pi}{2} \) Решение: Подставим табличные значения: \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \); \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \); \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \); \( \text{ctg} \frac{\pi}{2} = 0 \). \[ 3 \cdot (1)^2 - 4 \cdot (1)^2 - 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3 \cdot (0)^2 = 3 - 4 - 3 \cdot \frac{3}{4} + 0 = -1 - \frac{9}{4} = -1 - 2,25 = -3,25 \] Ответ: -3,25. б) \( \arcsin 1 + \arccos 0 \) Решение: \( \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \); \( \arccos 0 = \frac{\pi}{2} \). \[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \] Ответ: \( \pi \). в) \( \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arcsin 0 \) Решение: \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \). \( \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \); \( \arcsin 0 = 0 \). \[ \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4} \] Ответ: \( \frac{3\pi}{4} \). Задание 2. Упростить выражение: \( \sin(\pi + x) \cos(\frac{\pi}{2} + x) - \cos(2\pi + x) \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \) Решение: Используем формулы приведения: \( \sin(\pi + x) = -\sin x \) \( \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \) \( \cos(2\pi + x) = \cos x \) \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x \) Подставим: \[ (-\sin x) \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Ответ: 1. Задание 3. Найти \( \sin \alpha \), \( \cos 2\alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть). Решение: 1) В III четверти синус отрицательный. \[ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} = -0,8 \] 2) Используем формулу двойного угла: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25} = -0,28 \] Ответ: \( \sin \alpha = -0,8 \); \( \cos 2\alpha = -0,28 \). Задание 4. Решить простейшие тригонометрические уравнения: а) \( \cos x + 1 = 0 \) \( \cos x = -1 \) \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) б) \( 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \) \( 2\sin x = \sqrt{3} \) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \) в) \( \sqrt{3}\text{tg} x - 1 = 0 \) \( \sqrt{3}\text{tg} x = 1 \) \( \text{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) г) \( 2\cos \frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0 \) \( 2\cos \frac{x}{3} = -\sqrt{3} \) \( \cos \frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{x}{3} = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n \) \( \frac{x}{3} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) \( x = \pm \frac{5\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Задание 5. Решить неравенство: \( \sin x \ge \frac{1}{2} \) Решение: По тригонометрическому кругу: \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \) Верхняя дуга от \( \frac{\pi}{6} \) до \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \). Ответ: \( x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} \). Задание 6. Решить уравнение: \( 2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0 \) Решение: Пусть \( \cos x = t \), где \( |t| \le 1 \). \( 2t^2 - 5t - 3 = 0 \) \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 \) \( t_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \) (не подходит, так как \( 3 > 1 \)) \( t_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5 \) Обратная замена: \( \cos x = -0,5 \) \( x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi n \) \( x = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n \) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Ответ: \( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).