Решение интеграла ∫ctg(x)dx

Задание: Вычислить определенный интеграл. Решение: Запишем исходный интеграл: \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \text{ctg } x \, dx \] Распишем котангенс через отношение косинуса к синусу: \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x} \, dx \] Для решения воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Заметим, что \( \cos x \, dx = d(\sin x) \). Тогда интеграл примет вид: \[ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(\sin x)}{\sin x} \] Это табличный интеграл вида \( \int \frac{du}{u} = \ln|u| \). Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ I = \ln|\sin x| \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[ I = \ln\left(\sin \frac{\pi}{2}\right) - \lim_{x \to 0^+} \ln(\sin x) \] Вычислим значения: 1) \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \), следовательно \( \ln(1) = 0 \). 2) При \( x \to 0^+ \), \( \sin x \to 0 \). Известно, что \( \ln(t) \to -\infty \) при \( t \to 0 \). Таким образом: \[ I = 0 - (-\infty) = +\infty \] Ответ: Данный интеграл является расходящимся, его значение равно \( +\infty \). Это происходит из-за того, что функция \( \text{ctg } x \) имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \).