Решение дифференциального уравнения y' + 2y/x = 3/x^2 методом Бернулли

Решение дифференциального уравнения: \[ y' + \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^2} \] Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем решать его методом Бернулли, представив функцию \( y \) в виде произведения двух функций: \( y = u \cdot v \). Тогда производная будет равна: \[ y' = u'v + uv' \] Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[ u'v + uv' + \frac{2uv}{x} = \frac{3}{x^2} \] \[ u'v + u \left( v' + \frac{2v}{x} \right) = \frac{3}{x^2} \] Найдем функцию \( v \), приравняв выражение в скобках к нулю: \[ v' + \frac{2v}{x} = 0 \] \[ \frac{dv}{dx} = -\frac{2v}{x} \] \[ \frac{dv}{v} = -\frac{2dx}{x} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{dv}{v} = -2 \int \frac{dx}{x} \] \[ \ln|v| = -2 \ln|x| \] \[ \ln|v| = \ln|x^{-2}| \] \[ v = \frac{1}{x^2} \] Теперь подставим найденное \( v \) в оставшуюся часть уравнения: \[ u' \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{3}{x^2} \] \[ u' = 3 \] \[ \frac{du}{dx} = 3 \] \[ du = 3 dx \] Интегрируем: \[ u = \int 3 dx = 3x + C \] Запишем общее решение уравнения \( y = u \cdot v \): \[ y = (3x + C) \cdot \frac{1}{x^2} \] \[ y = \frac{3}{x} + \frac{C}{x^2} \] Ответ: \( y = \frac{3}{x} + \frac{C}{x^2} \)