Решение дифференциального уравнения y' - 2y/(x+1) = (x+1)^3

Решение дифференциального уравнения: \[ y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^3 \] Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его методом подстановки \( y = u \cdot v \), где \( y' = u'v + uv' \). Подставим в уравнение: \[ u'v + uv' - \frac{2uv}{x+1} = (x+1)^3 \] \[ u'v + u \left( v' - \frac{2v}{x+1} \right) = (x+1)^3 \] 1. Найдем функцию \( v \), приравняв скобку к нулю: \[ v' - \frac{2v}{x+1} = 0 \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{x+1} \] \[ \frac{dv}{v} = \frac{2 dx}{x+1} \] Интегрируем: \[ \int \frac{dv}{v} = 2 \int \frac{dx}{x+1} \] \[ \ln|v| = 2 \ln|x+1| \] \[ \ln|v| = \ln(x+1)^2 \] \[ v = (x+1)^2 \] 2. Найдем функцию \( u \), подставив полученное \( v \) в уравнение: \[ u' \cdot (x+1)^2 = (x+1)^3 \] \[ u' = \frac{(x+1)^3}{(x+1)^2} \] \[ u' = x+1 \] \[ \frac{du}{dx} = x+1 \] \[ du = (x+1) dx \] Интегрируем: \[ u = \int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C \] 3. Запишем общее решение \( y = u \cdot v \): \[ y = \left( \frac{x^2}{2} + x + C \right) (x+1)^2 \] Для более красивого вида раскроем скобки в выражении для \( u \): \[ u = \frac{x^2 + 2x + 2C}{2} \] Или можно оставить в исходном виде. Также часто выделяют полный квадрат: \[ u = \frac{(x+1)^2 - 1}{2} + C = \frac{(x+1)^2}{2} + C_1 \] Тогда: \[ y = \left( \frac{(x+1)^2}{2} + C_1 \right) (x+1)^2 = \frac{(x+1)^4}{2} + C_1(x+1)^2 \] Ответ: \( y = \frac{(x+1)^4}{2} + C(x+1)^2 \)