Решение дифференциального уравнения y'' + 6y' + 13y = 0

Решение дифференциального уравнения: \[ y'' + 6y' + 13y = 0 \] Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 6k + 13 = 0 \] Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16 \] Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. Вычислим их: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-16} = 4i \] \[ k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4i}{2} \] \[ k_1 = -3 + 2i, \quad k_2 = -3 - 2i \] Корни имеют вид \( k = \alpha \pm \beta i \), где \( \alpha = -3 \), а \( \beta = 2 \). Общее решение однородного уравнения при комплексных корнях записывается по формуле: \[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \] Подставим наши значения \( \alpha \) и \( \beta \): \[ y = e^{-3x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \] Ответ: \( y = e^{-3x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \)