Решение задач на площадь треугольника и ромба

Задача №5 Дано: \(S = 96 \text{ см}^2\) \(a = 16 \text{ см}\) (большая сторона) \(b = 8 \text{ см}\) (меньшая сторона) \(h_a = 12 \text{ см}\) (высота к большей стороне) Найти: \(h_b\) (высоту к меньшей стороне) Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b\] Отсюда выразим высоту \(h_b\): \[h_b = \frac{2S}{b}\] Подставим значения: \[h_b = \frac{2 \cdot 96}{8} = \frac{192}{8} = 24 \text{ (см)}\] Ответ: 24 см. Задача №6 Дано: \(d_1 = 9 \text{ см}\) \(d_2 = 12 \text{ см}\) Найти: \(S\) Решение: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ (см}^2)\] Ответ: 54 \(\text{см}^2\). Задача №7 Дано: \(S = 48 \text{ см}^2\) \(d_2 = 6 \cdot d_1\) Найти: \(d_1\) (меньшую диагональ) Решение: Используем формулу площади ромба: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] Подставим условие \(d_2 = 6d_1\): \[48 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 6d_1\] \[48 = 3 \cdot d_1^2\] \[d_1^2 = 16\] \[d_1 = 4 \text{ (см)}\] Ответ: 4 см. Задача №8 Дано: \(a = 6 \text{ см}\) \(b = 9 \text{ см}\) \(h = 5 \text{ см}\) Найти: \(S\) Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] \[S = \frac{6 + 9}{2} \cdot 5 = \frac{15}{2} \cdot 5 = 7,5 \cdot 5 = 37,5 \text{ (см}^2)\] Ответ: 37,5 \(\text{см}^2\). Задача №9 Дано: \(a = 4 \text{ см}\) \(b = 14 \text{ см}\) \(c = 22 \text{ см}\) (боковая сторона) \(\alpha = 30^\circ\) Найти: \(S\) Решение: 1. Найдем высоту трапеции \(h\) из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной и высотой. Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[h = c \cdot \sin(30^\circ) = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ (см)}\] 2. Вычислим площадь: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] \[S = \frac{4 + 14}{2} \cdot 11 = \frac{18}{2} \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99 \text{ (см}^2)\] Ответ: 99 \(\text{см}^2\). Задача №10 Дано: \(a = 12 \text{ см}\) (катет) \(c = 13 \text{ см}\) (гипотенуза) Найти: \(S\) Решение: 1. Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[b = \sqrt{c^2 - a^2}\] \[b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ (см)}\] 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 \text{ (см}^2)\] Ответ: 30 \(\text{см}^2\).