Решение задач по геометрии: тангенс и равносторонний треугольник

Домашняя работа Задача 1. Дано: Треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = 18\), \(\text{tg} A = 3\). Найти: \(AC\). Решение: По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \text{tg} A = \frac{BC}{AC} \] Подставим известные значения в формулу: \[ 3 = \frac{18}{AC} \] Отсюда выразим \(AC\): \[ AC = \frac{18}{3} = 6 \] Ответ: 6. Задача 2. Дано: Радиус вписанной окружности \(r = 6\sqrt{3}\). Треугольник равносторонний. Найти: сторону треугольника \(a\). Решение: Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник выражается через его сторону \(a\) по формуле: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Подставим значение \(r\): \[ 6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\): \[ 6 = \frac{a}{6} \] Отсюда: \[ a = 6 \cdot 6 = 36 \] Ответ: 36. Задача 3. Дано: Основания трапеции \(a = 6\), \(b = 10\). Боковая сторона \(c = 3\sqrt{2}\). Угол между ней и основанием равен \(135^\circ\). Найти: площадь трапеции \(S\). Решение: 1. Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна \(180^\circ\), то острый угол при основании равен: \[ \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] 2. Проведем высоту \(h\) из вершины тупого угла к большему основанию. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью основания: \[ h = c \cdot \sin(45^\circ) \] \[ h = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \] 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] \[ S = \frac{6 + 10}{2} \cdot 3 = \frac{16}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \] Ответ: 24.