Решение задач по комбинаторике: Перестановки и Сочетания

Вариант 1 Задача 1. Дано: цифры 5, 8, 6, 2. Найти: количество различных четырехзначных чисел без повторений. Решение: Так как используются все 4 цифры и порядок их следования важен, мы имеем дело с перестановками из 4 элементов. Количество способов равно факториалу числа элементов: \[ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \] Ответ: 24 числа. Задача 2. Дано: выбрать 8 чисел из 40. Найти: количество способов. Решение: Порядок выбора чисел в лотерее не важен, поэтому используем формулу сочетаний из 40 по 8: \[ C_{40}^8 = \frac{40!}{8! \cdot (40-8)!} = \frac{40!}{8! \cdot 32!} \] \[ C_{40}^8 = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 76\,904\,685 \] Ответ: 76 904 685 способами. Задача 3. Дано: 4 вида конвертов, 5 видов марок. Найти: количество способов купить комплект (конверт + марка). Решение: По правилу произведения, если первый объект можно выбрать \( n \) способами, а второй — \( m \) способами, то пару можно выбрать \( n \cdot m \) способами: \[ N = 4 \cdot 5 = 20 \] Ответ: 20 способами. Задача 4. Дано: команда из 11 человек. Найти: количество способов выбрать нападающего и защитника. Решение: Здесь важен порядок (роли распределены: один — нападающий, другой — защитник). Используем формулу размещений из 11 по 2: \[ A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = 11 \cdot 10 = 110 \] Или по правилу произведения: нападающего можно выбрать 11 способами, а защитника из оставшихся игроков — 10 способами. \[ 11 \cdot 10 = 110 \] Ответ: 110 способами.