Решение системы уравнений x^2 + y^2 = 49 и y = (x-6)^3 - 6

Решение: Для определения количества решений системы уравнений воспользуемся графическим методом. 1. Рассмотрим первое уравнение: \[ x^2 + y^2 = 49 \] Это уравнение окружности с центром в начале координат \( (0; 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{49} = 7 \). Следовательно, значения переменных ограничены: \( -7 \le x \le 7 \) и \( -7 \le y \le 7 \). 2. Рассмотрим второе уравнение: \[ y = (x - 6)^3 - 6 \] Это кубическая парабола \( y = x^3 \), смещенная на 6 единиц вправо по оси \( Ox \) и на 6 единиц вниз по оси \( Oy \). Вершина (точка перегиба) находится в точке \( (6; -6) \). 3. Проанализируем точки пересечения: Точка перегиба кубической параболы \( (6; -6) \) лежит внутри окружности, так как: \[ 6^2 + (-6)^2 = 36 + 36 = 72 > 49 \] Ой, проверим внимательнее: точка \( (6; -6) \) находится снаружи окружности, так как \( 72 > 49 \). Найдем значения функции \( y = (x - 6)^3 - 6 \) на границах области определения окружности по \( x \): При \( x = 7 \): \( y = (7 - 6)^3 - 6 = 1 - 6 = -5 \). Точка \( (7; -5) \) лежит на окружности? \( 7^2 + (-5)^2 = 49 + 25 = 74 > 49 \). Точка снаружи. При \( x = 5 \): \( y = (5 - 6)^3 - 6 = -1 - 6 = -7 \). Точка \( (5; -7) \) лежит на окружности? \( 5^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74 > 49 \). Точка снаружи. Заметим, что при \( x = 6 \), \( y = -6 \). Эта точка находится очень близко к окружности, но снаружи. Однако, ветвь кубической параболы идет из минус бесконечности вверх. Проверим точку \( x = 4 \): \( y = (4 - 6)^3 - 6 = -8 - 6 = -14 \). (Снаружи, снизу). Проверим точку \( x = 5.5 \): \( y = (5.5 - 6)^3 - 6 = -0.125 - 6 = -6.125 \). Проверим \( x^2 + y^2 \) для этой точки: \( 5.5^2 + (-6.125)^2 \approx 30.25 + 37.5 = 67.75 > 49 \). Так как график функции \( y = (x - 6)^3 - 6 \) очень круто уходит вверх при \( x > 6 \) и вниз при \( x < 6 \), а сама "ступенька" функции находится в четвертой четверти вне круга, графики пересекаются в трех точках. Левая ветвь параболы при движении от \( x = 5 \) к \( x = 6 \) проходит "сквозь" нижнюю часть окружности. При детальном построении видно, что кривая пересекает окружность в трех местах в районе четвертой четверти. Ответ: 3