Решение задач по комбинаторике. Вариант 2

Вариант 2 Задача 1. Дано: цифры 9, 1, 2, 3. Найти: количество различных четырехзначных чисел без повторений. Решение: Для составления числа используются все четыре данные цифры. Количество перестановок из \( n \) элементов вычисляется по формуле \( P_n = n! \). \[ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \] Ответ: 24 числа. Задача 2. Дано: 5 видов конвертов, 4 вида марок. Найти: количество способов купить комплект (конверт + марка). Решение: Согласно комбинаторному правилу умножения, если объект А можно выбрать \( m \) способами, а объект B — \( n \) способами, то выбор пары (А и B) осуществляется \( m \cdot n \) способами. \[ N = 5 \cdot 4 = 20 \] Ответ: 20 способами. Задача 3. Дано: выбрать 7 чисел из 40. Найти: количество способов. Решение: Так как порядок зачеркивания чисел в лотерейном билете не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний из 40 по 7: \[ C_{40}^7 = \frac{40!}{7! \cdot (40-7)!} = \frac{40!}{7! \cdot 33!} \] \[ C_{40}^7 = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 18\,643\,560 \] Ответ: 18 643 560 способами. Задача 4. Дано: команда из 11 человек. Найти: количество способов выбрать капитана и его заместителя. Решение: В данном случае порядок выбора важен, так как выбранные люди назначаются на разные должности (капитан и заместитель). Используем формулу размещений из 11 по 2: \[ A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = 11 \cdot 10 = 110 \] Или рассуждаем логически: капитаном может стать любой из 11 человек, а его заместителем — любой из 10 оставшихся. \[ 11 \cdot 10 = 110 \] Ответ: 110 способами.