Решение задач по графикам функций: Производная равна нулю

Решение задач по графикам функций. Задача а) Условие: На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) на промежутке \((-3; 4)\). Найдите количество точек, в которых производная функции \(f(x)\) равна нулю. Решение: Производная функции равна нулю в точках экстремума (точках максимума и минимума), где касательная к графику параллельна оси \(Ox\). Посчитаем количество таких "холмиков" и "впадин" на графике в заданном интервале: 1. Точка максимума при \(x \approx -2,2\) 2. Точка минимума при \(x \approx -1\) 3. Точка максимума при \(x \approx -0,2\) 4. Точка минимума при \(x \approx 1,5\) 5. Точка максимума при \(x \approx 2,5\) 6. Точка минимума при \(x \approx 3,5\) Итого: 6 точек. Ответ: 6. Задача б) Условие: На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) на промежутке \((1; 6)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y = 4\). Решение: Прямая \(y = 4\) является горизонтальной. Касательная параллельна горизонтальной прямой тогда, когда производная функции равна нулю (\(f'(x) = 0\)). Это происходит в точках локальных экстремумов. На промежутке от 1 до 6 находим такие точки: 1. Минимум при \(x \approx 1,5\) 2. Максимум при \(x \approx 2,5\) 3. Минимум при \(x \approx 3,5\) 4. Максимум при \(x \approx 4,5\) 5. Минимум при \(x \approx 5,2\) Итого: 5 точек. Ответ: 5. Задача в) Условие: На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) на промежутке \((-7; -2)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y = -5\). Решение: Аналогично предыдущей задаче, прямая \(y = -5\) горизонтальна. Нам нужно найти количество точек экстремума на интервале \((-7; -2)\): 1. Максимум при \(x \approx -6,5\) 2. Минимум при \(x \approx -5,8\) 3. Максимум при \(x \approx -5\) 4. Минимум при \(x \approx -4,2\) 5. Максимум при \(x \approx -3,5\) 6. Минимум при \(x \approx -2,8\) Итого: 6 точек. Ответ: 6.