Решение задач по геометрии: трапеция, площадь

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача №8 Дано: Трапеция \(ABCD\). Основания: \(DC = 4\), \(AB = 32\). Боковая сторона \(AD = 16\). Угол \(\angle A = 30^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Проведем высоту \(DH\) из вершины \(D\) к основанию \(AB\). 2. В прямоугольном треугольнике \(ADH\) катет \(DH\) лежит против угла в \(30^\circ\), следовательно, он равен половине гипотенузы \(AD\): \[DH = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8\] 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] \[S = \frac{AB + DC}{2} \cdot DH = \frac{32 + 4}{2} \cdot 8 = \frac{36}{2} \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144\] Ответ: 144. Задача №9 Дано: Трапеция \(ABCD\). Периметр \(P = 44\). Высота \(BE = 8\). Сторона \(AB = 10\). На рисунке отмечено, что \(CD = BC\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. Найдем сумму оснований \(BC + AD\). Периметр равен сумме всех сторон: \[P = AB + BC + CD + AD\] Так как \(CD = BC\), подставим известные значения: \[44 = 10 + BC + BC + AD\] \[44 - 10 = 2 \cdot BC + AD\] \[34 = 2 \cdot BC + AD\] 2. Заметим, что \(AD = AE + ED\). В прямоугольном треугольнике \(ABE\) по теореме Пифагора: \[AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\] Тогда \(AD = 6 + ED\). 3. В данной конфигурации (прямоугольная трапеция или равнобедренная не указано явно, но по чертежу \(BCDE\) — прямоугольник, если \(CD\) перпендикулярно основаниям, однако условие \(CD=BC\) и периметр дают нам: \[34 = 2 \cdot BC + 6 + ED\] Если предположить, что \(BCDE\) — прямоугольник (высота из \(C\) также равна 8), то \(ED = BC\). \[34 = 2 \cdot BC + 6 + BC \Rightarrow 3 \cdot BC = 28 \Rightarrow BC = \frac{28}{3}\] Сумма оснований \(BC + AD = BC + (6 + BC) = 2 \cdot BC + 6 = 2 \cdot \frac{28}{3} + 6 = \frac{56 + 18}{3} = \frac{74}{3}\). Площадь: \(S = \frac{74/3}{2} \cdot 8 = \frac{37}{3} \cdot 8 = \frac{296}{3} \approx 98,67\). (Примечание: если в условии подразумевается, что \(CD\) — боковая сторона, равная верхнему основанию). Задача №4 Дано: Параллелограмм \(ABCD\). Стороны: \(AD = 14\), \(DC = 18\). Угол \(\angle B = 150^\circ\). Найти: \(S_{ABCD}\). Решение: 1. В параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Следовательно: \[\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] 2. Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] \[S = AD \cdot AB \cdot \sin(30^\circ)\] Так как \(AB = DC = 18\): \[S = 14 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 14 \cdot 9 = 126\] Ответ: 126. Задача №46 (а, в, д) Формула площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) — основание, \(h\) — высота. а) Основание \(a = 15 + 6 = 21\), высота \(h = 8\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 21 \cdot 4 = 84\] в) Основание \(a = 55 + 20 = 75\), высота \(h = 48\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 75 \cdot 48 = 75 \cdot 24 = 1800\] д) Основание \(a = 30 + 12 = 42\), высота \(h = 16\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 16 = 42 \cdot 8 = 336\]