Решение задачи 208: Геометрический смысл производной

Решение задач на геометрический смысл производной. Задача 208. а) Условие: На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) на промежутке \((-2; 5)\) и отмечены точки с абсциссами \(-1, 0, 2, 3\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? Решение: Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Чем "круче" график идет вверх, тем больше значение производной. Если график идет вниз, производная отрицательна. Рассмотрим точки: 1. \(x = -1\): График возрастает, касательная наклонена вверх. Это положительное значение. 2. \(x = 0\): Точка максимума. Касательная горизонтальна, производная \(f'(0) = 0\). 3. \(x = 2\): График убывает, производная отрицательна. 4. \(x = 3\): График убывает еще быстрее, производная отрицательна и меньше, чем в точке 2. Наибольшее значение производная принимает там, где функция быстрее всего растет. Это точка \(x = -1\). Ответ: -1. Задача 208. б) Условие: На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\) на промежутке \((-3; 4)\) и отмечены точки с абсциссами \(-2, -1, 0, 2\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? Решение: Проанализируем поведение функции в заданных точках: 1. \(x = -2\): График очень круто идет вверх (интенсивное возрастание). Здесь производная имеет большое положительное значение. 2. \(x = -1\): График продолжает расти, но уже менее круто, приближаясь к вершине. Производная положительна, но меньше, чем в точке \(x = -2\). 3. \(x = 0\): Точка локального максимума. Касательная горизонтальна, \(f'(0) = 0\). 4. \(x = 2\): График убывает, производная отрицательна. Сравнивая все точки, видим, что самый крутой подъем графика (наибольший угол наклона касательной) наблюдается в точке \(x = -2\). Ответ: -2.