Задача 1: Теорема Фалеса и Подобие Треугольников

Домашнее задание по теме: Теорема Фалеса. Подобие треугольников. Задача 1. Дано: \(MN \parallel KP\), \(NP = 20\) см, \(PO = 8\) см, \(MK = 15\) см. Найти: \(KO\). Решение: Так как \(MN \parallel KP\), то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников \(MNO\) и \(KPO\) по двум углам: \(\angle O\) — общий, \(\angle OKP = \angle OMN\) как соответственные), стороны треугольников пропорциональны: \[ \frac{OK}{OM} = \frac{OP}{ON} \] Пусть \(KO = x\) см. Тогда \(OM = MK + KO = 15 + x\). Отрезок \(ON = NP + PO = 20 + 8 = 28\) см. Подставим значения в пропорцию: \[ \frac{x}{15 + x} = \frac{8}{28} \] Сократим дробь \(\frac{8}{28}\) на 4, получим \(\frac{2}{7}\): \[ \frac{x}{15 + x} = \frac{2}{7} \] Применим основное свойство пропорции: \[ 7x = 2(15 + x) \] \[ 7x = 30 + 2x \] \[ 5x = 30 \] \[ x = 6 \] Ответ: \(KO = 6\) см. Задача 2. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), \(BC = 5\) см, \(AB = 6\) см, \(B_1C_1 = 15\) см, \(A_1C_1 = 21\) см. Найти: \(A_1B_1\) и \(AC\). Решение: Так как треугольники подобны, отношения их соответствующих сторон равны коэффициенту подобия \(k\): \[ k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{15}{5} = 3 \] Найдем сторону \(A_1B_1\): \[ \frac{A_1B_1}{AB} = k \Rightarrow A_1B_1 = AB \cdot k = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см.} \] Найдем сторону \(AC\): \[ \frac{A_1C_1}{AC} = k \Rightarrow AC = \frac{A_1C_1}{k} = \frac{21}{3} = 7 \text{ см.} \] Ответ: \(A_1B_1 = 18\) см, \(AC = 7\) см. Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\), \(CD\) — биссектриса, \(AC = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(AD = 10\) см. Найти: \(BD\). Решение: По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{10}{BD} = \frac{12}{18} \] Сократим \(\frac{12}{18}\) на 6, получим \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{10}{BD} = \frac{2}{3} \] \[ 2 \cdot BD = 30 \] \[ BD = 15 \] Ответ: \(BD = 15\) см. Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\), \(E \in AB\), \(F \in BC\), \(EF \parallel AC\), \(AE : BE = 3 : 4\), \(AC = 28\) см. Найти: \(EF\). Решение: Так как \(EF \parallel AC\), то \(\triangle BEF \sim \triangle BAC\) по двум углам (\(\angle B\) — общий, \(\angle BEF = \angle BAC\) как соответственные). Из подобия следует: \[ \frac{EF}{AC} = \frac{BE}{BA} \] Пусть \(AE = 3x\), тогда \(BE = 4x\). Следовательно, \(BA = AE + BE = 3x + 4x = 7x\). Подставим в пропорцию: \[ \frac{EF}{28} = \frac{4x}{7x} \] \[ \frac{EF}{28} = \frac{4}{7} \] \[ EF = \frac{28 \cdot 4}{7} = 4 \cdot 4 = 16 \] Ответ: \(EF = 16\) см. Задача 5. Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\), \(AC \cap BD = O\), \(BO : OD = 2 : 3\), \(AC = 25\) см. Найти: \(AO\) и \(OC\). Решение: Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны по двум углам (\(\angle BOC = \angle DOA\) как вертикальные, \(\angle CBO = \angle ADO\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\)). Из подобия следует: \[ \frac{OC}{AO} = \frac{BO}{OD} = \frac{2}{3} \] Пусть \(OC = 2k\), тогда \(AO = 3k\). Так как \(AC = AO + OC\), имеем: \[ 3k + 2k = 25 \] \[ 5k = 25 \] \[ k = 5 \] Тогда: \[ AO = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см.} \] \[ OC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см.} \] Ответ: \(AO = 15\) см, \(OC = 10\) см.