Построение сечения пирамиды DABC плоскостью MNK

Задача №1 Построение сечения пирамиды DABC плоскостью MNK. Обоснование построения: 1. Точки N и K лежат в плоскости грани ADB. Проведем отрезок NK. Это первая сторона сечения. 2. Точки K и M лежат в плоскости грани BDC. Проведем отрезок KM. Это вторая сторона сечения. 3. Точки N и M лежат в разных гранях, но обе принадлежат плоскости сечения. Чтобы найти третью сторону, заметим, что точка N лежит на ребре AD (грань ADC), а точка M лежит на ребре BC (грань BDC). 4. Прямая NK лежит в плоскости ADB, а прямая KM в плоскости BDC. Они пересекаются в точке K на ребре DB. 5. Для завершения построения соединим точку N и точку M. Однако, если точка M лежит на ребре BC, а N на AD, то отрезок NM пройдет внутри пирамиды. Чтобы получить сечение по граням, нужно найти точки пересечения плоскости MNK с ребрами AC или DC. 6. Если точки N, K, M заданы как на рисунке (N на AD, K на DB, M на BC), то сечением является четырехугольник. Найдем точку L на ребре AC. Для этого продлим NK до пересечения с AB в точке P. Проведем прямую PM, которая пересечет AC в точке L. 7. Соединим N с L и L с M. Искомое сечение — четырехугольник NKLM (или треугольник, если точки лежат специфическим образом). На стандартном чертеже это последовательное соединение точек в гранях. Задача №2 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед. \(BD = 8\) (диагональ основания). \(AA_1 = 15\) (высота параллелепипеда). Найти: \(A_1C\) (диагональ параллелепипеда). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_1AC\). В нем угол \(A\) прямой (\(90^\circ\)), так как боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\). 2. Отрезок \(AC\) является диагональю прямоугольника \(ABCD\). В прямоугольнике диагонали равны, следовательно: \[AC = BD = 8\] 3. Высота параллелепипеда \(AA_1 = 15\). 4. По теореме Пифагора для треугольника \(A_1AC\): \[A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2\] 5. Подставим известные значения: \[A_1C^2 = 8^2 + 15^2\] \[A_1C^2 = 64 + 225\] \[A_1C^2 = 289\] 6. Извлечем квадратный корень: \[A_1C = \sqrt{289} = 17\] Ответ: 17.