Решение задачи: угол между прямой и плоскостью

Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача №1 Дано: \(AM \perp \alpha\), \(BK \perp \alpha\) (проекции). \(AM = 9\), \(BK = 15\), \(MK = 6\). Найти: угол между \(AB\) и \(\alpha\) (обозначим \(\varphi\)). Решение: 1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекцией \(AB\) на плоскость \(\alpha\) является отрезок \(MK\). Значит, нам нужно найти угол между \(AB\) и прямой, параллельной \(MK\). 2. Проведем из точки \(A\) отрезок \(AH\), перпендикулярный \(BK\) (\(H\) лежит на \(BK\)). 3. Четырехугольник \(AMKH\) — прямоугольник, так как \(AM \perp MK\), \(BK \perp MK\) и \(AH \parallel MK\). Следовательно: \(AH = MK = 6\); \(MH = AM = 9\). 4. Найдем отрезок \(BH\): \[BH = BK - MH = 15 - 9 = 6\] 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (угол \(H = 90^\circ\)). В нем угол \(BAH\) и есть искомый угол \(\varphi\), так как \(AH\) параллельна проекции \(MK\). 6. Найдем тангенс угла \(\varphi\): \[\tan(\varphi) = \frac{BH}{AH} = \frac{6}{6} = 1\] 7. Если \(\tan(\varphi) = 1\), то \(\varphi = 45^\circ\). Ответ: \(45^\circ\). Задача №2 Дано: \(AK \perp \alpha\), \(BC \subset \alpha\). \(AB = 17\), \(AC = 15\), \(\angle ACB = 90^\circ\). Угол между \((ABC)\) и \(\alpha\) равен \(60^\circ\). Найти: \(S_{ACK}\). Решение: 1. Так как \(AK \perp \alpha\), то \(AK \perp KC\). Треугольник \(ACK\) — прямоугольный. 2. По условию \(BC \perp AC\) (в треугольнике \(ABC\)). Также \(BC \perp AK\) (так как \(AK\) перпендикулярна всей плоскости \(\alpha\)). Значит, \(BC\) перпендикулярна плоскости \(ACK\). 3. Следовательно, \(BC \perp KC\). Угол \(\angle ACK\) является линейным углом двугранного угла между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), так как \(AC \perp BC\) и \(KC \perp BC\). По условию \(\angle ACK = 60^\circ\). 4. В прямоугольном треугольнике \(ACK\): \[KC = AC \cdot \cos(60^\circ) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7,5\] \[AK = AC \cdot \sin(60^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7,5\sqrt{3}\] 5. Площадь прямоугольного треугольника \(ACK\): \[S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KC\] \[S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot 7,5\sqrt{3} \cdot 7,5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{15}{2} = \frac{225\sqrt{3}}{8} \approx 28,125\sqrt{3}\] Примечание: Вероятно, в условии или вариантах ответов есть неточность, так как полученное число не совпадает идеально с целыми вариантами. Однако, если искать площадь \(S_{ABC}\), она равна \(60\). Если перепроверить проекцию: \(S_{KCB} = S_{ABC} \cdot \cos(60^\circ)\). Если выбирать наиболее близкий по логике построения ответ из предложенных для \(S_{ACK}\) при других данных, то стоит перепроверить условие. При данных \(AC=15\) и угле \(60^\circ\), площадь \(S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 7,5 \cdot \sin(60^\circ)\) не дает целого числа. Если же \(60^\circ\) — это угол \(KAC\), то \(S = 15^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Наиболее вероятный ответ в школьных тестах при таких числах обычно (г) 60, если бы искали площадь \(ABC\), но для \(ACK\) расчет выше. Ответ: \( \frac{225\sqrt{3}}{8} \) (проверьте условие на наличие опечаток в цифрах).