Решение уравнений 1 вариант

Ниже представлено решение всех уравнений из 1 варианта в виде, удобном для записи в тетрадь. 1) \(2^x + 2^{x+3} = 9\) Вынесем общий множитель за скобки: \(2^x (1 + 2^3) = 9\) \(2^x (1 + 8) = 9\) \(2^x \cdot 9 = 9\) \(2^x = 1\) \(2^x = 2^0\) \(x = 0\) Ответ: 0. 2) \(16^{x+9} - 8 = -7\) Перенесем 8 в правую часть: \(16^{x+9} = 8 - 7\) \(16^{x+9} = 1\) Любое число в нулевой степени равно 1: \(x + 9 = 0\) \(x = -9\) Ответ: -9. 3) \(5^{2x-1} + 2^{2x} - 5^{2x} + 2^{2x+2} = 0\) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями: \((5^{2x-1} - 5^{2x}) + (2^{2x} + 2^{2x+2}) = 0\) Вынесем множители с наименьшими показателями: \(5^{2x-1}(1 - 5^1) + 2^{2x}(1 + 2^2) = 0\) \(5^{2x-1}(-4) + 2^{2x}(5) = 0\) \(5 \cdot 2^{2x} = 4 \cdot 5^{2x-1}\) Разделим обе части на \(5^{2x}\): \(5 \cdot \frac{2^{2x}}{5^{2x}} = 4 \cdot \frac{5^{2x-1}}{5^{2x}}\) \(5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} = 4 \cdot 5^{-1}\) \(5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{5}\) \((\frac{2}{5})^{2x} = \frac{4}{25}\) \((\frac{2}{5})^{2x} = (\frac{2}{5})^2\) \(2x = 2\) \(x = 1\) Ответ: 1. 4) \(8^{x-9} = 64\) Приведем к основанию 8: \(8^{x-9} = 8^2\) \(x - 9 = 2\) \(x = 11\) Ответ: 11. 5) \((17^{\sqrt{x^2+2x-8}})^{x+3} = 1\) Уравнение равно 1, если показатель степени равен 0: 1) \(\sqrt{x^2+2x-8} \cdot (x+3) = 0\) Случай А: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). Проверим ОДЗ для корня: \((-3)^2 + 2(-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5 < 0\). Корень не существует, \(x = -3\) не подходит. Случай Б: \(\sqrt{x^2+2x-8} = 0\) \(x^2 + 2x - 8 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 2\). Ответ: -4; 2. 6) \(9^x - 3^{x+1} = 54\) Приведем к основанию 3: \((3^2)^x - 3 \cdot 3^x - 54 = 0\) Пусть \(3^x = t\), где \(t > 0\): \(t^2 - 3t - 54 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 9\), \(t_2 = -6\) (не подходит, так как \(t > 0\)). Обратная замена: \(3^x = 9\) \(3^x = 3^2\) \(x = 2\) Ответ: 2. 7) \(5^{3-2x} = 0,5 \cdot 10^{3-2x}\) Разделим обе части на \(10^{3-2x}\): \(\frac{5^{3-2x}}{10^{3-2x}} = 0,5\) \((\frac{5}{10})^{3-2x} = 0,5\) \(0,5^{3-2x} = 0,5^1\) \(3 - 2x = 1\) \(-2x = -2\) \(x = 1\) Ответ: 1. 8) \(3^{x+3} = 27\) Приведем к основанию 3: \(3^{x+3} = 3^3\) \(x + 3 = 3\) \(x = 0\) Ответ: 0.