Решение логарифмических уравнений (Вариант 1)

Ниже представлены решения логарифмических уравнений из Варианта 1. 1) \(\log_2(4 - x) = 7\) По определению логарифма: \(4 - x = 2^7\) \(4 - x = 128\) \(x = 4 - 128\) \(x = -124\) Ответ: -124. 2) \(\log_6(8 + x) = 2\) \(8 + x = 6^2\) \(8 + x = 36\) \(x = 36 - 8\) \(x = 28\) Ответ: 28. 3) \(\log_2(2 - x) = \log_2 1\) Так как основания равны: \(2 - x = 1\) \(x = 2 - 1\) \(x = 1\) Ответ: 1. 4) \(\log_9(9 + x) = \log_9 2\) \(9 + x = 2\) \(x = 2 - 9\) \(x = -7\) Ответ: -7. 5) \(\log_4(x + 3) = \log_4(4x - 15)\) \(x + 3 = 4x - 15\) \(3x = 18\) \(x = 6\) Проверка ОДЗ: \(6+3 > 0\) и \(4 \cdot 6 - 15 > 0\) — верно. Ответ: 6. 6) \(\log_{\frac{1}{4}}(9 - 5x) = -3\) \(9 - 5x = (\frac{1}{4})^{-3}\) \(9 - 5x = 4^3\) \(9 - 5x = 64\) \(-5x = 55\) \(x = -11\) Ответ: -11. 7) \(\log_5(5 - 5x) = 2\log_5 2\) \(\log_5(5 - 5x) = \log_5 2^2\) \(5 - 5x = 4\) \(-5x = -1\) \(x = 0,2\) Ответ: 0,2. 8) \(\log_5(x^2 + 4x) = \log_5(x^2 + 11)\) \(x^2 + 4x = x^2 + 11\) \(4x = 11\) \(x = 2,75\) Ответ: 2,75. 9) \(\log_2(8 + 7x) = \log_2(8 + 3x) + 1\) \(\log_2(8 + 7x) = \log_2(8 + 3x) + \log_2 2\) \(\log_2(8 + 7x) = \log_2((8 + 3x) \cdot 2)\) \(8 + 7x = 16 + 6x\) \(x = 8\) Ответ: 8. 10) \(\log_{x+1} 49 = 2\) \((x + 1)^2 = 49\) \(x + 1 = 7\) или \(x + 1 = -7\) \(x = 6\) или \(x = -8\) По ОДЗ основание \(x+1 > 0\) и \(x+1 \neq 1\), значит \(x = 6\). Ответ: 6. 11) \(\log_8 2^{8x-4} = 4\) Представим 8 как \(2^3\): \(\log_{2^3} 2^{8x-4} = 4\) \(\frac{1}{3}(8x - 4) = 4\) \(8x - 4 = 12\) \(8x = 16\) \(x = 2\) Ответ: 2.