Решение задачи: Пружинный маятник и изменение частоты

Дано: \(m_0 = 300\) г \(\nu_1 = \nu\) \(\nu_2 = \frac{\nu}{2}\) \(m_2 = m + m_0\) Найти: \(m\) — ? Решение: Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле: \[\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\] где \(k\) — жесткость пружины, \(m\) — масса груза. Запишем выражения для частоты в первом и во втором случаях: \[\nu_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\] \[\nu_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m + m_0}}\] По условию задачи частота уменьшилась в 2 раза, то есть: \[\frac{\nu_1}{\nu_2} = 2\] Разделим первое уравнение на второе: \[\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m + m_0}}} = \sqrt{\frac{m + m_0}{m}}\] Подставим значение отношения частот: \[2 = \sqrt{\frac{m + m_0}{m}}\] Возведем обе части уравнения в квадрат: \[4 = \frac{m + m_0}{m}\] Решим полученное уравнение относительно \(m\): \[4m = m + m_0\] \[4m - m = m_0\] \[3m = m_0\] \[m = \frac{m_0}{3}\] Подставим численное значение массы гири: \[m = \frac{300}{3} = 100 \text{ г}\] Ответ: 100 г.