Решение задач с квадратными корнями для школьников

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Вычислите: \(\sqrt{16^3}\). Решение: \[ \sqrt{16^3} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64 \] Ответ: 64. Задание 2. Найдите значение выражения \(\frac{32}{(2\sqrt{8})^2}\). Решение: \[ \frac{32}{(2\sqrt{8})^2} = \frac{32}{2^2 \cdot (\sqrt{8})^2} = \frac{32}{4 \cdot 8} = \frac{32}{32} = 1 \] Ответ: 1. Задание 3. Вычислите: \(\sqrt{2 \cdot 90 \cdot 20}\). Решение: \[ \sqrt{2 \cdot 90 \cdot 20} = \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 10} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 10^2} = 2 \cdot 3 \cdot 10 = 60 \] Ответ: 60. Задание 4. Найдите значение выражения \(2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}\). Решение: \[ 2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = 12 \cdot \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 12 \cdot \sqrt{100} = 12 \cdot 10 = 120 \] Ответ: 120. Задание 5. Найдите значение выражения \((\sqrt{3}-8)(\sqrt{3}+8)\). Решение (используем формулу разности квадратов): \[ (\sqrt{3}-8)(\sqrt{3}+8) = (\sqrt{3})^2 - 8^2 = 3 - 64 = -61 \] Ответ: -61. Задание 6. Вычислите: \((\sqrt{59}-8)^2 + 16\sqrt{59}\). Решение (используем формулу квадрата разности): \[ (\sqrt{59})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{59} + 8^2 + 16\sqrt{59} = 59 - 16\sqrt{59} + 64 + 16\sqrt{59} = 59 + 64 = 123 \] Ответ: 123. Задание 7. Вычислите: \((\sqrt{128}-\sqrt{98}) \cdot 9\sqrt{2}\). Решение: \[ (\sqrt{64 \cdot 2} - \sqrt{49 \cdot 2}) \cdot 9\sqrt{2} = (8\sqrt{2} - 7\sqrt{2}) \cdot 9\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18 \] Ответ: 18. Задание 8. Вычислите: \(\sqrt{y^{12} \cdot (-y)^4}\) при \(y=2\). Решение: \[ \sqrt{y^{12} \cdot y^4} = \sqrt{y^{16}} = y^8 \] При \(y=2\): \[ 2^8 = 256 \] Ответ: 256. Задание 9. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{m^{41}}{25m^{37}}}\) при \(m=9\). Решение: \[ \sqrt{\frac{m^{41-37}}{25}} = \sqrt{\frac{m^4}{25}} = \frac{m^2}{5} \] При \(m=9\): \[ \frac{9^2}{5} = \frac{81}{5} = 16,2 \] Ответ: 16,2. Задание 10. Найдите значение выражения \(\sqrt{64g^2 + 96gd + 36d^2}\) при \(g=9\frac{1}{2}, d=3\frac{1}{2}\). Решение (свернем по формуле квадрата суммы): \[ \sqrt{(8g + 6d)^2} = |8g + 6d| \] Подставим значения: \[ 8 \cdot 9,5 + 6 \cdot 3,5 = 76 + 21 = 97 \] Ответ: 97. Задание 11. Вычислите: \(5^{-39} \cdot (5^4)^{10}\). Решение: \[ 5^{-39} \cdot 5^{40} = 5^{-39+40} = 5^1 = 5 \] Ответ: 5. Задание 12. Вычислите: \(\frac{(3^5)^{-8}}{3^{-42}}\). Решение: \[ \frac{3^{-40}}{3^{-42}} = 3^{-40 - (-42)} = 3^2 = 9 \] Ответ: 9. Задание 13. Вычислите: \(\frac{2^{-4} \cdot 2^{14}}{2^6}\). Решение: \[ \frac{2^{10}}{2^6} = 2^{10-6} = 2^4 = 16 \] Ответ: 16. Задание 14. Вычислите: \(\frac{2^8}{4^3}\). Решение: \[ \frac{2^8}{(2^2)^3} = \frac{2^8}{2^6} = 2^2 = 4 \] Ответ: 4. Задание 15. Вычислите: \(\frac{1}{3^{-7}} \cdot \frac{1}{3^5}\). Решение: \[ 3^7 \cdot 3^{-5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9 \] Ответ: 9. Задание 16. Найдите значение выражения \(\frac{7^7 \cdot 2^6}{14^6}\). Решение: \[ \frac{7^7 \cdot 2^6}{(7 \cdot 2)^6} = \frac{7^7 \cdot 2^6}{7^6 \cdot 2^6} = 7^{7-6} = 7^1 = 7 \] Ответ: 7. Задание 17. Вычислите: \(n^2 \cdot n^{-9} : n^{-12}\) при \(n=3\). Решение: \[ n^{2-9 - (-12)} = n^{-7+12} = n^5 \] При \(n=3\): \[ 3^5 = 243 \] Ответ: 243. Задание 18. Найдите значение выражения \((d^{-2})^{12} : d^{-25}\) при \(d=7\). Решение: \[ d^{-24} : d^{-25} = d^{-24 - (-25)} = d^1 = d \] При \(d=7\): \[ 7 \] Ответ: 7. Задание 19. Найдите значение выражения \(\frac{s^{-6} \cdot s^{15}}{s^7}\) при \(s=4\). Решение: \[ \frac{s^9}{s^7} = s^2 \] При \(s=4\): \[ 4^2 = 16 \] Ответ: 16. Задание 20. Найдите значение выражения \(p^{-2} \cdot (p^2)^2\) при \(p=6\). Решение: \[ p^{-2} \cdot p^4 = p^2 \] При \(p=6\): \[ 6^2 = 36 \] Ответ: 36.