Решение задачи №5: Нахождение AD в трапеции

Задача №5 Дано: Трапеция \(ABCD\). Вершины \(A\) и \(D\) лежат на оси \(Ox\). Вершины \(B\) и \(C\) лежат на графике функции \(y = \sqrt{x}\). \(A\) — проекция \(B\) на \(Ox\), \(D\) — проекция \(C\) на \(Ox\). \(AB = 2\). (Судя по контексту и типичным задачам, значение под курсором равно 2). Большая диагональ \(AC = 2\sqrt{6}\). Найти: \(AD\). Решение: 1. Пусть координаты точки \(B\) равны \((x_B; y_B)\). Так как точка \(B\) лежит на графике \(y = \sqrt{x}\), то \(y_B = \sqrt{x_B}\). По условию \(A\) — проекция \(B\) на ось \(Ox\), значит отрезок \(AB\) перпендикулярен оси \(Ox\), и его длина равна ординате точки \(B\): \[AB = y_B = \sqrt{x_B}\] По условию \(AB = 2\), следовательно: \[\sqrt{x_B} = 2 \Rightarrow x_B = 4\] Таким образом, координаты точек: \(B(4; 2)\) и \(A(4; 0)\). 2. Пусть координаты точки \(C\) равны \((x_C; y_C)\). Так как \(C\) лежит на графике \(y = \sqrt{x}\), то \(y_C = \sqrt{x_C}\). Точка \(D\) — проекция \(C\) на ось \(Ox\), значит \(D(x_C; 0)\). Длина отрезка \(CD\) равна \(y_C = \sqrt{x_C}\). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\) (угол \(D\) прямой, так как \(CD \perp AD\)). По теореме Пифагора: \[AC^2 = AD^2 + CD^2\] Нам известно, что \(AC = 2\sqrt{6}\). Выразим \(AD\) через координаты: \[AD = x_C - x_A = x_C - 4\] Подставим значения в уравнение Пифагора, учитывая, что \(CD^2 = (\sqrt{x_C})^2 = x_C\): \[(2\sqrt{6})^2 = (x_C - 4)^2 + x_C\] \[4 \cdot 6 = x_C^2 - 8x_C + 16 + x_C\] \[24 = x_C^2 - 7x_C + 16\] \[x_C^2 - 7x_C - 8 = 0\] 4. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\] \[x_{C_1} = \frac{7 + 9}{2} = 8\] \[x_{C_2} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \text{ (не подходит, так как } x \ge 0 \text{ для } \sqrt{x})\] Значит, \(x_C = 8\). 5. Найдем расстояние \(AD\): \[AD = x_C - x_A = 8 - 4 = 4\] Ответ: 4.