Решение задачи №8: Интерференция в тонкой пленке

Задача №8 Дано: \( \lambda = 0,6 \, \text{мкм} = 6 \cdot 10^{-7} \, \text{м} \) \( \alpha = 30^{\circ} \) \( n = 1,3 \) \( n_{возд} = 1 \) Найти: \( d_{min} \) — ? Решение: При падении света на тонкую пленку происходит интерференция волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки. Оптическая разность хода \( \Delta \) для отраженного света с учетом потери полуволны при отражении от более плотной среды (так как \( n > n_{возд} \)) выражается формулой: \[ \Delta = 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} + \frac{\lambda}{2} \] Условие максимального ослабления (интерференционного минимума) для отраженного света имеет вид: \[ \Delta = (2k + 1) \frac{\lambda}{2} \] где \( k = 0, 1, 2, \dots \) Приравняем выражения для разности хода: \[ 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} + \frac{\lambda}{2} = (2k + 1) \frac{\lambda}{2} \] Упростим уравнение: \[ 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} = 2k \frac{\lambda}{2} \] \[ 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} = k\lambda \] Для нахождения наименьшей толщины \( d \) возьмем минимально возможное целое значение \( k \), при котором \( d > 0 \). В данном случае это \( k = 1 \). \[ 2d \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} = \lambda \] Выразим толщину \( d \): \[ d = \frac{\lambda}{2 \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} \] Подставим числовые значения: \( \sin 30^{\circ} = 0,5 \) \( \sin^2 30^{\circ} = 0,25 \) \[ d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6}}{2 \sqrt{1,3^2 - 0,25}} \] \[ d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6}}{2 \sqrt{1,69 - 0,25}} \] \[ d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6}}{2 \sqrt{1,44}} \] \[ d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 1,2} \] \[ d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6}}{2,4} = 0,25 \cdot 10^{-6} \, \text{м} \] Переведем в микрометры: \( d = 0,25 \, \text{мкм} \) Ответ: \( d = 0,25 \, \text{мкм} \).