Решение системы уравнений

Задание 1. Решите систему уравнений. \[ \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x^2 + 6y + 2 = 0 \end{cases} \] Решение: 1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 2x - 5\) 2. Подставим полученное выражение во второе уравнение: \(x^2 + 6(2x - 5) + 2 = 0\) \(x^2 + 12x - 30 + 2 = 0\) \(x^2 + 12x - 28 = 0\) 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256\) \(\sqrt{D} = 16\) \(x_1 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14\) 4. Найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x_1 = 2\), то \(y_1 = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1\) Если \(x_2 = -14\), то \(y_2 = 2 \cdot (-14) - 5 = -28 - 5 = -33\) Ответ: \((2; -1)\), \((-14; -33)\). Задание 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника. Решение: Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 14\), откуда \(a + b = 7\). По теореме Пифагора для диагонали: \(a^2 + b^2 = 5^2 = 25\). Составим систему: \[ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \] Возведем первое уравнение в квадрат: \((a + b)^2 = 7^2\) \(a^2 + 2ab + b^2 = 49\) Подставим \(a^2 + b^2 = 25\) в это уравнение: \(25 + 2ab = 49\) \(2ab = 49 - 25\) \(2ab = 24\) \(ab = 12\) Так как площадь прямоугольника \(S = ab\), то \(S = 12\) \(см^2\). Ответ: 12 \(см^2\). Задание 3. Решите графически систему уравнений. \[ \begin{cases} x^3 - y = 0 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^3 \\ y = -2x + 3 \end{cases} \] Решение: 1. Построим график кубической параболы \(y = x^3\). Точки: \((-2; -8), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (2; 8)\). 2. Построим график прямой \(y = -2x + 3\). Точки: при \(x = 0, y = 3\); при \(x = 1, y = 1\). 3. Находим точку пересечения графиков. Из построения видно, что графики пересекаются в точке с координатами \((1; 1)\). Ответ: \((1; 1)\). Задание 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения парабол \(y = 3x^2 - 10\) и \(y = 2x^2 + 3x\). Решение: Приравняем правые части уравнений: \(3x^2 - 10 = 2x^2 + 3x\) \(3x^2 - 2x^2 - 3x - 10 = 0\) \(x^2 - 3x - 10 = 0\) Решим уравнение по теореме Виета или через дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\) \(x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2\) Найдем координаты \(y\): Если \(x_1 = 5\), то \(y_1 = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 = 50 + 15 = 65\) Если \(x_2 = -2\), то \(y_2 = 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) = 8 - 6 = 2\) Ответ: \((5; 65)\), \((-2; 2)\).