Решение систем уравнений методом подстановки

Решение систем уравнений методом подстановки. 1) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ 5x = 3y \end{cases} \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 14 - 3x \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ 5x = 3(14 - 3x) \] \[ 5x = 42 - 9x \] \[ 5x + 9x = 42 \] \[ 14x = 42 \] \[ x = 3 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 14 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5 \] Ответ: \( (3; 5) \). 2) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 7x - 2y = 28 \\ x + y = -5 \end{cases} \] Выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = -5 - y \] Подставим в первое уравнение: \[ 7(-5 - y) - 2y = 28 \] \[ -35 - 7y - 2y = 28 \] \[ -9y = 28 + 35 \] \[ -9y = 63 \] \[ y = -7 \] Теперь найдем \( x \): \[ x = -5 - (-7) = -5 + 7 = 2 \] Ответ: \( (2; -7) \). 3) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 4y = x + 46 \\ 3x + 2y = 7 \end{cases} \] Выразим \( x \) из первого уравнения: \[ x = 4y - 46 \] Подставим во второе уравнение: \[ 3(4y - 46) + 2y = 7 \] \[ 12y - 138 + 2y = 7 \] \[ 14y = 7 + 138 \] \[ 14y = 145 \] \[ y = \frac{145}{14} = 10\frac{5}{14} \] Найдем \( x \): \[ x = 4 \cdot \frac{145}{14} - 46 = \frac{290}{7} - \frac{322}{7} = -\frac{32}{7} = -4\frac{4}{7} \] Ответ: \( (-4\frac{4}{7}; 10\frac{5}{14}) \). Решение систем уравнений методом алгебраического сложения. 4) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 5y + 2 = 3x \\ 3x - y = -2 \end{cases} \] Приведем уравнения к стандартному виду: \[ \begin{cases} -3x + 5y = -2 \\ 3x - y = -2 \end{cases} \] Сложим уравнения системы: \[ (-3x + 3x) + (5y - y) = -2 + (-2) \] \[ 4y = -4 \] \[ y = -1 \] Подставим \( y = -1 \) во второе уравнение: \[ 3x - (-1) = -2 \] \[ 3x + 1 = -2 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] Ответ: \( (-1; -1) \). 5) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 7x - 3 = 5y \\ 2y - 14x = -46 \end{cases} \] Приведем уравнения к стандартному виду: \[ \begin{cases} 7x - 5y = 3 \\ -14x + 2y = -46 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2: \[ \begin{cases} 14x - 10y = 6 \\ -14x + 2y = -46 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ (14x - 14x) + (-10y + 2y) = 6 - 46 \] \[ -8y = -40 \] \[ y = 5 \] Подставим \( y = 5 \) в первое уравнение: \[ 7x - 5 \cdot 5 = 3 \] \[ 7x - 25 = 3 \] \[ 7x = 28 \] \[ x = 4 \] Ответ: \( (4; 5) \).