Решение задач на нахождение производных функций

Домашнее задание 1. Найти производные функций: 1) \( y = x^2 + \sqrt{x^3} + \sqrt[3]{x} \) Перепишем в степенном виде: \( y = x^2 + x^{3/2} + x^{1/3} \) \[ y' = 2x + \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x + \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] 2) \( y = 2x^7 - \frac{6}{x^5} - 7 \) Перепишем: \( y = 2x^7 - 6x^{-5} - 7 \) \[ y' = 14x^6 - 6 \cdot (-5)x^{-6} - 0 = 14x^6 + \frac{30}{x^6} \] 3) \( y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x^5}} + 4x \) Перепишем: \( y = x^{1/3} - x^{-5/2} + 4x \) \[ y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - (-\frac{5}{2})x^{-7/2} + 4 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{5}{2\sqrt{x^7}} + 4 \] 4) \( y = (7x - 2)^5 \) Используем правило производной сложной функции: \[ y' = 5(7x - 2)^4 \cdot (7x - 2)' = 5(7x - 2)^4 \cdot 7 = 35(7x - 2)^4 \] 5) \( y = \sqrt[3]{(5x + 3)^2} \) Перепишем: \( y = (5x + 3)^{2/3} \) \[ y' = \frac{2}{3}(5x + 3)^{-1/3} \cdot 5 = \frac{10}{3\sqrt[3]{5x + 3}} \] 6) \( y = \sin^5 4x \) \[ y' = 5\sin^4 4x \cdot (\sin 4x)' = 5\sin^4 4x \cdot \cos 4x \cdot 4 = 20\sin^4 4x \cos 4x \] 2. Найти производные второго порядка: 1) \( y = x^3 - \frac{1}{x^4} + 25 \) Первая производная: \( y' = 3x^2 - (-4)x^{-5} = 3x^2 + 4x^{-5} \) Вторая производная: \[ y'' = (3x^2 + 4x^{-5})' = 6x + 4 \cdot (-5)x^{-6} = 6x - \frac{20}{x^6} \] 2) \( y = \text{arctg } 3x \) Первая производная: \( y' = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + 9x^2} = 3(1 + 9x^2)^{-1} \) Вторая производная: \[ y'' = 3 \cdot (-1)(1 + 9x^2)^{-2} \cdot 18x = -\frac{54x}{(1 + 9x^2)^2} \] 4. Найти значение производной \( y''(0) \) функции \( y = \sin^2 x + 6x^2 \): Найдем первую производную: \[ y' = 2\sin x \cos x + 12x = \sin 2x + 12x \] Найдем вторую производную: \[ y'' = (\sin 2x + 12x)' = 2\cos 2x + 12 \] Вычислим значение в точке 0: \[ y''(0) = 2\cos(0) + 12 = 2 \cdot 1 + 12 = 14 \] 5. Найти значение производной второго порядка функции \( y = \ln(5x - 4) \) в точке \( x = 1 \) (в условии опечатка \( x=0 \), так как логарифм отрицательного числа не определен, обычно берут точку из области определения, например \( x=1 \)): Первая производная: \( y' = \frac{5}{5x - 4} = 5(5x - 4)^{-1} \) Вторая производная: \[ y'' = 5 \cdot (-1)(5x - 4)^{-2} \cdot 5 = -\frac{25}{(5x - 4)^2} \] При \( x = 1 \): \[ y''(1) = -\frac{25}{(5 \cdot 1 - 4)^2} = -\frac{25}{1^2} = -25 \] 3. Найти дифференциалы функций: Дифференциал вычисляется по формуле \( dy = y' dx \). 1) \( y = 5^{\sqrt{3x + 1}} \) \[ dy = 5^{\sqrt{3x + 1}} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot 3 \, dx = \frac{3 \ln 5 \cdot 5^{\sqrt{3x + 1}}}{2\sqrt{3x + 1}} dx \] 2) \( y = 3x^2 + 4 \) \[ dy = (3x^2 + 4)' dx = 6x \, dx \]