Решение задач на нахождение производных функций (пункты 7-9)

Продолжим решение задач из первого раздела (Найти производные функций). Ранее были решены пункты 1-6, теперь разберем оставшиеся пункты 7-16. 7) \( y = (\ln x + 3^x)^3 \) Используем правило производной сложной функции: \[ y' = 3(\ln x + 3^x)^2 \cdot (\ln x + 3^x)' = 3(\ln x + 3^x)^2 \cdot \left( \frac{1}{x} + 3^x \ln 3 \right) \] 8) \( y = \log_4 3x \cdot e^{\text{tg } 2x} \) Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (\log_4 3x)' \cdot e^{\text{tg } 2x} + \log_4 3x \cdot (e^{\text{tg } 2x})' \] \[ y' = \frac{1}{3x \ln 4} \cdot 3 \cdot e^{\text{tg } 2x} + \log_4 3x \cdot e^{\text{tg } 2x} \cdot \frac{2}{\cos^2 2x} \] \[ y' = e^{\text{tg } 2x} \left( \frac{1}{x \ln 4} + \frac{2 \log_4 3x}{\cos^2 2x} \right) \] 9) \( y = \text{tg } 4x \cdot 7^{\cos x} \) \[ y' = (\text{tg } 4x)' \cdot 7^{\cos x} + \text{tg } 4x \cdot (7^{\cos x})' \] \[ y' = \frac{4}{\cos^2 4x} \cdot 7^{\cos x} + \text{tg } 4x \cdot 7^{\cos x} \ln 7 \cdot (-\sin x) \] \[ y' = 7^{\cos x} \left( \frac{4}{\cos^2 4x} - \sin x \cdot \ln 7 \cdot \text{tg } 4x \right) \] 10) \( y = \ln 3 \cdot \text{ctg } x^3 \) Заметим, что \( \ln 3 \) — это константа: \[ y' = \ln 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x^3}) \cdot (x^3)' = -\frac{3x^2 \ln 3}{\sin^2 x^3} \] 11) \( y = \frac{\text{arctg } 4x}{\ln \sqrt{x}} \) Упростим знаменатель: \( \ln \sqrt{x} = \ln x^{1/2} = \frac{1}{2} \ln x \). Тогда \( y = \frac{2 \text{arctg } 4x}{\ln x} \). Используем правило частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ y' = 2 \cdot \frac{\frac{4}{1 + 16x^2} \cdot \ln x - \text{arctg } 4x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{8 \ln x}{(1 + 16x^2)\ln^2 x} - \frac{2 \text{arctg } 4x}{x \ln^2 x} \] 12) \( y = \frac{\text{arcctg } 2x}{4x^2 - 5} \) \[ y' = \frac{(\text{arcctg } 2x)'(4x^2 - 5) - \text{arcctg } 2x(4x^2 - 5)'}{(4x^2 - 5)^2} \] \[ y' = \frac{-\frac{2}{1 + 4x^2}(4x^2 - 5) - \text{arcctg } 2x \cdot 8x}{(4x^2 - 5)^2} \] 13) \( y = \frac{\arcsin \sqrt[3]{x}}{5} \) \[ y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt[3]{x})^2}} \cdot (\sqrt[3]{x})' = \frac{1}{5\sqrt{1 - x^{2/3}}} \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{15\sqrt[3]{x^2}\sqrt{1 - \sqrt[3]{x^2}}} \] 14) \( y = \frac{4}{(5x + 2)^6} = 4(5x + 2)^{-6} \) \[ y' = 4 \cdot (-6)(5x + 2)^{-7} \cdot 5 = -\frac{120}{(5x + 2)^7} \] 15) \( y = \cos^3 (\text{tg } 4x) \) \[ y' = 3\cos^2 (\text{tg } 4x) \cdot (-\sin(\text{tg } 4x)) \cdot \frac{4}{\cos^2 4x} = -\frac{12\cos^2 (\text{tg } 4x) \sin(\text{tg } 4x)}{\cos^2 4x} \] 16) \( y = \ln(\text{ctg}^2 5x) \) Упростим: \( y = 2 \ln(\text{ctg } 5x) \) \[ y' = 2 \cdot \frac{1}{\text{ctg } 5x} \cdot (-\frac{5}{\sin^2 5x}) = -10 \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} \cdot \frac{1}{\sin^2 5x} = -\frac{10}{\sin 5x \cos 5x} = -\frac{20}{\sin 10x} \]