Решение задачи №5: растяжение пружины муравьями

Задача №5 Дано: \(u = 1,5 \text{ см/с} = 0,015 \text{ м/с}\) \(F = 3 \text{ Н}\) \(k = 5 \text{ мН/см} = 0,005 \text{ Н} / 0,01 \text{ м} = 0,5 \text{ Н/м}\) Найти: \(t_1\) — ? \(t_2\) — ? Решение: 1. Рассмотрим первый случай. Муравьи растягивают одну пружину, разбегаясь в разные стороны. Скорость удаления муравьев друг от друга равна \(v_{отн} = 2u\). За время \(t_1\) пружина растянется на величину \(\Delta x_1 = v_{отн} \cdot t_1 = 2u t_1\). По закону Гука сила упругости равна \(F_{упр} = k \Delta x_1\). Муравьи остановятся, когда сила достигнет предельного значения \(F\): \[F = k \cdot 2u t_1\] Отсюда выразим время: \[t_1 = \frac{F}{2ku}\] Подставим значения: \[t_1 = \frac{3}{2 \cdot 0,5 \cdot 0,015} = \frac{3}{0,015} = 200 \text{ с}\] 2. Рассмотрим второй случай. Пружину разрезали пополам. Жесткость половины пружины в два раза больше исходной: \(k' = 2k\). Две такие пружины соединили параллельно. Общая жесткость системы при параллельном соединении равна сумме жесткостей: \[k_{общ} = k' + k' = 2k + 2k = 4k\] Муравьи снова разбегаются со скоростью \(2u\). За время \(t_2\) растяжение составит \(\Delta x_2 = 2u t_2\). Условие остановки: \[F = k_{общ} \cdot 2u t_2 = 4k \cdot 2u t_2 = 8ku t_2\] Отсюда выразим время: \[t_2 = \frac{F}{8ku}\] Заметим, что \(t_2 = \frac{1}{4} t_1\): \[t_2 = \frac{200}{4} = 50 \text{ с}\] Ответ: \(t_1 = 200 \text{ с}\); \(t_2 = 50 \text{ с}\).