Задача №7: Время встречи бегунов на круговой дорожке

Задача №7 Дано: \(L = 600\) м — длина круговой дорожки. \(v_1 = 3\) м/с — скорость Феликса (по часовой стрелке). \(v_2 = 2\) м/с — скорость Талгата (по часовой стрелке). \(v_3 = 2\) м/с — скорость Андрея (против часовой стрелки). Найти: \(t\) — время, через которое все трое встретятся в одной точке. Решение: Для того чтобы все трое встретились в одной точке, необходимо, чтобы в этой точке одновременно оказались пары бегунов. 1. Рассмотрим встречу Феликса и Талгата. Они бегут в одном направлении. Скорость их сближения (скорость удаления одного от другого по кругу) равна: \[v_{12} = v_1 - v_2 = 3 - 2 = 1 \text{ м/с}\] Они будут встречаться в одной точке через промежутки времени \(t_1\), кратные: \[T_1 = \frac{L}{v_{12}} = \frac{600}{1} = 600 \text{ с}\] То есть Феликс и Талгат встречаются в моменты времени \(t = 600, 1200, 1800 \dots\) секунд. 2. Рассмотрим встречу Талгата и Андрея. Они бегут в противоположных направлениях. Скорость их сближения равна: \[v_{23} = v_2 + v_3 = 2 + 2 = 4 \text{ м/с}\] Они будут встречаться через промежутки времени \(t_2\), кратные: \[T_2 = \frac{L}{v_{23}} = \frac{600}{4} = 150 \text{ с}\] То есть Талгат и Андрей встречаются в моменты времени \(t = 150, 300, 450, 600 \dots\) секунд. 3. Чтобы все трое встретились одновременно, время \(t\) должно быть кратно и \(T_1\), и \(T_2\). Наименьшее общее кратное (НОК) для 600 и 150: \[t = \text{НОК}(600, 150) = 600 \text{ с}\] Проверим положение каждого через 600 секунд: Феликс пробежит: \(S_1 = 3 \cdot 600 = 1800\) м (3 полных круга, вернется в старт). Талгат пробежит: \(S_2 = 2 \cdot 600 = 1200\) м (2 полных круга, вернется в старт). Андрей пробежит: \(S_3 = 2 \cdot 600 = 1200\) м (2 полных круга в обратную сторону, вернется в старт). Все трое окажутся в точке старта. Переведем секунды в минуты: \[t = \frac{600}{60} = 10 \text{ мин}\] Ответ: через 600 секунд (или 10 минут).