Решение задачи №8 о плавании тела в жидкостях

Задача №8 Дано: \( V_1 = V_2 = V_0 \) (объемы жидкостей в стаканах равны) \( \rho_{ш} \) — плотность шарика \( V_{ш} \) — объем шарика В 1-й жидкости: шарик плавает в толще (состояние безразличного равновесия) Во 2-й жидкости: погружена часть \( V_{погр2} = \frac{1}{3} V_{ш} \) Найти: \( \frac{V_{над}}{V_{ш}} \) — часть объема шарика над поверхностью в смеси. Решение: 1. Рассмотрим первый случай. Если шарик плавает внутри жидкости (в толще), то его плотность равна плотности этой жидкости: \[ \rho_1 = \rho_{ш} \] 2. Рассмотрим второй случай. Шарик плавает на поверхности, значит, сила тяжести уравновешена силой Архимеда: \[ F_{тяж} = F_{А2} \] \[ \rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш} = \rho_2 \cdot g \cdot V_{погр2} \] Подставим \( V_{погр2} = \frac{1}{3} V_{ш} \): \[ \rho_{ш} \cdot V_{ш} = \rho_2 \cdot \frac{1}{3} V_{ш} \] Отсюда плотность второй жидкости: \[ \rho_2 = 3 \rho_{ш} \] 3. Найдем плотность смеси жидкостей. Так как объемы жидкостей одинаковы (\( V_0 \)), плотность смеси \( \rho_{см} \) равна среднему арифметическому плотностей: \[ \rho_{см} = \frac{\rho_1 \cdot V_0 + \rho_2 \cdot V_0}{2 V_0} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} \] Подставим значения \( \rho_1 \) и \( \rho_2 \): \[ \rho_{см} = \frac{\rho_{ш} + 3 \rho_{ш}}{2} = \frac{4 \rho_{ш}}{2} = 2 \rho_{ш} \] 4. Найдем объем погруженной части шарика в смеси \( V_{погр.см} \): \[ F_{тяж} = F_{А.см} \] \[ \rho_{ш} \cdot g \cdot V_{ш} = \rho_{см} \cdot g \cdot V_{погр.см} \] \[ \rho_{ш} \cdot V_{ш} = 2 \rho_{ш} \cdot V_{погр.см} \] \[ V_{погр.см} = \frac{1}{2} V_{ш} \] 5. Найдем часть объема, которая находится на поверхности (над водой): \[ V_{над} = V_{ш} - V_{погр.см} = V_{ш} - \frac{1}{2} V_{ш} = \frac{1}{2} V_{ш} \] Доля объема на поверхности: \[ \frac{V_{над}}{V_{ш}} = \frac{1}{2} \] Ответ: на поверхности будет находиться \( \frac{1}{2} \) (или 50%) объема шарика.