Решение задачи №3: Найти угол между лучами

Задача №3 Дано: \( \angle ABC = 68^\circ \) Количество лучей: 7. Каждый новый луч образует с предыдущим угол \( x \). Первый луч образует с \( AB \) угол \( x \). Седьмой луч проходит через точку \( C \) и образует с \( BC \) угол \( x \). Найти: \( x \) (в градусах). Решение: Рассмотрим ломаную линию, образованную этими лучами внутри треугольника \( ABC \). Заметим, что каждый следующий луч отклоняется от предыдущего на угол \( x \). Пусть \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_7 \) — углы наклона лучей к прямой \( AB \). Тогда: \( \alpha_1 = x \) \( \alpha_2 = 2x \) \( \dots \) \( \alpha_7 = 7x \) Согласно условию, седьмой луч проходит через точку \( C \). Угол между этим лучом и стороной \( BC \) равен \( x \). Рассмотрим сумму углов в треугольнике \( ABC \). Обозначим \( \angle BAC = A \) и \( \angle BCA = C \). Из построения видно, что угол \( A \) (угол между \( AB \) и \( AC \)) складывается из углов между лучами. Однако, так как седьмой луч — это и есть отрезок \( AC \), то угол \( \angle BAC \) равен углу наклона седьмого луча к \( AB \): \[ \angle BAC = 7x \] Также по условию угол между седьмым лучом (отрезком \( AC \)) и стороной \( BC \) равен \( x \): \[ \angle BCA = x \] Сумма углов в треугольнике \( ABC \) равна \( 180^\circ \): \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ 7x + 68^\circ + x = 180^\circ \] Решим полученное уравнение: \[ 8x + 68 = 180 \] \[ 8x = 180 - 68 \] \[ 8x = 112 \] \[ x = \frac{112}{8} \] \[ x = 14 \] Ответ: \( x = 14^\circ \).