Решение задачи №4: Маша, Даша и Саша

Задача №4 Условие: Маша, Даша и Саша проходили несколько тестов. За 1-е место дается \(a\) баллов, за 2-е — \(b\) баллов, за 3-е — \(c\) баллов (\(a > b > c > 0\)). Итоговые баллы: Маша — 20, Даша — 10, Саша — 9. Маша была второй в тесте по алгебре. Кто был второй в тесте по геометрии? Решение: 1. Найдем общую сумму баллов за все тесты: \[20 + 10 + 9 = 39\] 2. Сумма баллов за один тест равна \(a + b + c\). Пусть количество тестов равно \(n\). Тогда: \[n \cdot (a + b + c) = 39\] Число 39 раскладывается на множители как \(3 \cdot 13\). Так как тестов было "несколько" и баллы \(a, b, c\) различны (минимум \(3+2+1=6\)), то \(n\) может быть равно только 3, а сумма баллов за один тест \(a + b + c = 13\). 3. Определим возможные значения \(a, b, c\). Маша набрала 20 баллов за 3 теста. Если бы она всегда была первой, она бы набрала \(3a\). Если бы она была один раз второй (как в алгебре) и два раза первой, она набрала бы \(2a + b = 20\). Из \(a + b + c = 13\) следует, что \(a\) должно быть достаточно большим. Если \(a = 8\), то \(2 \cdot 8 + b = 20 \Rightarrow b = 4\). Тогда \(c = 13 - 8 - 4 = 1\). Проверим: \(8 > 4 > 1\) — условие \(a > b > c\) выполняется. Если \(a = 9\), то \(2 \cdot 9 + b = 20 \Rightarrow b = 2\). Тогда \(c = 13 - 9 - 2 = 2\), что невозможно, так как \(b > c\). Значит, \(a = 8, b = 4, c = 1\). 4. Распределим баллы по участникам: Маша: 20 баллов. Это \(8 + 8 + 4\) (два первых места и одно второе в алгебре). Саша: 9 баллов. Как можно получить 9 из чисел 8, 4, 1 за три теста? Только \(4 + 4 + 1\) или \(8 + 0 + 1\) (не подходит) или \(1 + 4 + 4\) (не подходит, так как второе место \(b=4\) у Маши в алгебре). Единственный вариант для Саши набрать 9 баллов при условии, что Маша заняла два первых места и одно второе: Саша: \(1 + 4 + 4 = 9\) (одно третье место и два вторых). Но Маша уже заняла одно второе место. Всего вторых мест в трех тестах — три. Значит, вторые места распределились так: Маша (1 раз), Саша (2 раза). Даша: 10 баллов. Остаются места: одно первое (так как Маша взяла два из трех) и два третьих. Даша: \(8 + 1 + 1 = 10\). 5. Составим таблицу (А — алгебра, Г — геометрия, Т3 — третий тест): Маша: А(4), Г(8), Т3(8) = 20 Даша: А(8), Г(1), Т3(1) = 10 Саша: А(1), Г(4), Т3(4) = 9 В тесте по геометрии второе место (4 балла) заняла Саша. Ответ: Саша.