Решение задачи по алгоритмам работы автомата

Решение задач по алгоритмам работы автомата. Задача 1. Условие: Автомат получает четырёхзначное число. Складываются 1-я и 2-я, 2-я и 3-я, 3-я и 4-я цифры. Два наибольших числа записываются в порядке неубывания. Результат: 1517. Найти наименьшее исходное число. Решение: Результат 1517 получен из двух наибольших сумм: 15 и 17. Так как они записаны в порядке неубывания, это именно 15 и 17. Пусть цифры числа: \(a, b, c, d\). Суммы: \(S_1 = a + b\), \(S_2 = b + c\), \(S_3 = c + d\). Две из них должны быть 15 и 17, а третья — меньше или равна 15. Чтобы число \(abcd\) было наименьшим, первая цифра \(a\) должна быть как можно меньше. Если \(a = 1\), то \(b = 15 - 1 = 14\), что невозможно (цифра \(\le 9\)). Минимальное \(a\) при \(S_1 = 15\): \(a = 6, b = 9\). Тогда \(S_2 = 9 + c\). Чтобы \(S_2\) была одной из выбранных сумм (17), \(c = 8\). Тогда \(S_3 = 8 + d\). Чтобы \(S_3\) не вытеснила 15 и 17, она должна быть \(\le 15\). Минимальное \(d = 0\). Проверим: число 6980. Суммы: \(6+9=15\), \(9+8=17\), \(8+0=8\). Наибольшие: 15 и 17. Результат: 1517. Если \(S_1\) не входит в топ-2, то \(a\) должно быть еще больше, что нам не выгодно. Ответ: 6980. Задача 2. Условие: Трёхзначное число. Складываются 1-я и 2-я, 2-я и 3-я цифры. Результаты записываются в порядке убывания. Результат: 1711. Найти наименьшее исходное число. Решение: Суммы: 17 и 11. Пусть цифры: \(a, b, c\). Вариант 1: \(a + b = 17\), \(b + c = 11\). Чтобы \(a\) было минимальным, \(b\) должно быть максимальным. Если \(b = 9\), то \(a = 17 - 9 = 8\), \(c = 11 - 9 = 2\). Число 892. Вариант 2: \(a + b = 11\), \(b + c = 17\). Если \(b = 9\), то \(a = 11 - 9 = 2\), \(c = 17 - 9 = 8\). Число 298. Сравниваем 892 и 298. Наименьшее — 298. Ответ: 298. Задача 3. Условие: Четырёхзначное число, все цифры нечётные. Складываются 1-я и 2-я, 3-я и 4-я цифры. Результаты в порядке неубывания. Результат: 414. Сколько существует таких чисел? Решение: Суммы: 4 и 14. Цифры \(a, b, c, d \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\). 1) \(a + b = 4\). Возможные пары \((a, b)\): (1, 3), (3, 1). Всего 2 варианта. 2) \(c + d = 14\). Возможные пары \((c, d)\): (5, 9), (7, 7), (9, 5). Всего 3 варианта. Так как порядок сумм в результате неубывающий (4 и 14), то первая сумма всегда 4, вторая 14. Общее количество чисел: \(2 \times 3 = 6\). Ответ: 6. Задача 4. Условие: Четырёхзначное число. Складываются 1-я и 2-я, 2-я и 3-я, 3-я и 4-я цифры. Наименьшая удаляется, остальные в порядке неубывания. Результат: 613. Найти наибольшее исходное число. Решение: Оставшиеся суммы: 6 и 13. Удаленная сумма \(S_{min} \le 6\). Чтобы число было наибольшим, \(a\) должно быть максимально возможным. Пусть \(a = 9\). Тогда \(S_1 = a + b = 9 + b\). Если \(S_1 = 13\), то \(b = 4\). Тогда \(S_2 = b + c = 4 + c\). Чтобы число было больше, возьмем \(c\) побольше. Пусть \(c = 9\), тогда \(S_2 = 4 + 9 = 13\). Но у нас в результате 6 и 13. Значит, одна из сумм должна быть 6. Пусть \(S_3 = c + d = 9 + d\). Это будет \(\ge 9\), что не дает нам 6. Попробуем сделать \(S_2 = 6\). Если \(b = 4\), то \(c = 2\). Тогда \(S_3 = c + d = 2 + d\). Чтобы эта сумма была удалена, она должна быть \(\le 6\). Максимальное \(d = 9\), тогда \(S_3 = 11\). Это не подходит (будет 6, 11, 13 -> 1113). Чтобы \(S_3\) удалилась, она должна быть самой маленькой. Пусть \(S_1 = 13, S_2 = 6\). Тогда \(a=9, b=4, c=2\). Чтобы \(S_3 \le 6\), возьмем \(d=4\). Число 9424: суммы 13, 6, 6. Удаляем 6, остается 6 и 13. Результат 613. Проверим, можно ли больше. Если \(a=9, b=9\), \(S_1=18\) (нет в результате). Если \(a=5, b=8\), \(S_1=13\). Если \(b=8\), то \(S_2 = 8+c\). Чтобы \(S_2=6\), \(c\) должно быть отрицательным. Значит, \(S_1\) обязана быть 6 или 13. Для наибольшего числа \(S_1=13\). При \(a=9, b=4\), максимальное \(c=2\) (чтобы \(S_2=6\)). При \(c=2\) максимальное \(d=4\) (чтобы \(S_3 \le 6\)). Ответ: 9424.