Графическое решение системы неравенств

Задание: Изобразить на координатной плоскости область, заданную системой неравенств. \[ \begin{cases} y \le (x - 1)^2 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9 \end{cases} \] Решение: 1. Рассмотрим первое неравенство: \( y \le (x - 1)^2 \). Границей данной области является парабола \( y = (x - 1)^2 \). Вершина параболы находится в точке \( (1; 0) \). Ветви направлены вверх. Так как знак неравенства \( \le \), то искомая область — это точки, лежащие на самой параболе и ниже неё (внешняя часть параболы). 2. Рассмотрим второе неравенство: \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9 \). Границей является окружность, уравнение которой имеет вид \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \). Центр окружности находится в точке \( O(2; -1) \). Радиус окружности \( R = \sqrt{9} = 3 \). Так как знак неравенства \( \le \), то искомая область — это круг (точки внутри окружности и сама граница). 3. Построение на координатной плоскости: - Начертите оси координат \( Ox \) и \( Oy \). - Постройте параболу \( y = (x - 1)^2 \). Отметьте несколько точек для точности: \( (1; 0) \), \( (0; 1) \), \( (2; 1) \), \( (-1; 4) \), \( (3; 4) \). Заштрихуйте область под параболой. - Постройте окружность с центром в точке \( (2; -1) \) и радиусом 3. Она пройдет через точки \( (5; -1) \), \( (-1; -1) \), \( (2; 2) \), \( (2; -4) \). Заштрихуйте область внутри круга. - Решением системы будет пересечение (общая часть) этих двух областей. Это будет сегмент круга, ограниченный сверху дугой окружности, а снизу — частью параболы. Ответ: Решением является область, представляющая собой пересечение внутренности круга с центром \( (2; -1) \) радиуса 3 и области, лежащей ниже параболы \( y = (x - 1)^2 \).