Решение задачи: Квадрат и шестиугольник вокруг окружности

Задание: Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр шестиугольника, если площадь квадрата равна \( 108 \text{ см}^2 \). Решение для тетради: 1. Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности. Для квадрата, описанного около окружности, сторона \( a_4 \) равна диаметру этой окружности: \[ a_4 = 2r \] 2. Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a_4^2 \). Подставим известные данные: \[ (2r)^2 = 108 \] \[ 4r^2 = 108 \] \[ r^2 = 27 \] \[ r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см} \] 3. Для правильного шестиугольника, описанного около той же окружности, радиус \( r \) является его апофемой (высотой прямоугольного треугольника внутри сектора). Сторона описанного правильного шестиугольника \( a_6 \) выражается через радиус вписанной окружности по формуле: \[ a_6 = \frac{2r}{\sqrt{3}} \] 4. Подставим найденное значение \( r \): \[ a_6 = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см} \] 5. Периметр правильного шестиугольника равен сумме длин шести его сторон: \[ P = 6 \cdot a_6 \] \[ P = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см} \] Ответ: 36