Решение задачи: скалярное произведение векторов в треугольнике

Задание: В треугольнике \( ABC \) угол \( B = 90^\circ \), \( AB = BC \), \( BD \) — медиана треугольника, \( AB = 3\sqrt{2} \). Вычислите скалярное произведение векторов: 1) \( \vec{BD} \cdot \vec{AC} \) 2) \( \vec{BD} \cdot \vec{BD} \) Решение для тетради: 1. Анализ треугольника: Так как \( \angle B = 90^\circ \) и \( AB = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. В равнобедренном треугольнике медиана \( BD \), проведенная к основанию \( AC \), также является его высотой. Следовательно, \( BD \perp AC \). 2. Вычисление первого произведения: Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, так как угол между ними \( 90^\circ \), а \( \cos 90^\circ = 0 \). \[ \vec{BD} \cdot \vec{AC} = 0 \] 3. Вычисление второго произведения: Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: \[ \vec{BD} \cdot \vec{BD} = |\vec{BD}|^2 \] В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: \( BD = \frac{1}{2} AC \). Найдем гипотенузу \( AC \) по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} \] \[ AC = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6 \] Тогда длина медианы: \[ BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \] Следовательно: \[ \vec{BD} \cdot \vec{BD} = 3^2 = 9 \] Ответ: 1) 0 2) 9