Решение задачи: Найти CD в равностороннем треугольнике ABC

Задание: На стороне \( AB \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечена точка \( D \), так что \( AD : DB = 5 : 3 \). Найдите \( CD \), если известно, что \( AB = 16 \) см. Решение для тетради: 1. Так как треугольник \( ABC \) равносторонний, все его стороны равны, а углы составляют \( 60^\circ \). \[ AB = BC = AC = 16 \text{ см} \] \[ \angle A = 60^\circ \] 2. Найдем длины отрезков \( AD \) и \( DB \). Сумма частей отношения равна \( 5 + 3 = 8 \). \[ AD = \frac{5}{8} \cdot AB = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10 \text{ см} \] \[ DB = \frac{3}{8} \cdot AB = \frac{3}{8} \cdot 16 = 6 \text{ см} \] 3. Рассмотрим треугольник \( ADC \). В нем известны две стороны \( AC = 16 \), \( AD = 10 \) и угол между ними \( \angle A = 60^\circ \). Для нахождения стороны \( CD \) воспользуемся теоремой косинусов: \[ CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos A \] 4. Подставим значения: \[ CD^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \] Так как \( \cos 60^\circ = 0,5 \): \[ CD^2 = 256 + 100 - 2 \cdot 160 \cdot 0,5 \] \[ CD^2 = 356 - 160 \] \[ CD^2 = 196 \] 5. Находим длину \( CD \): \[ CD = \sqrt{196} = 14 \text{ см} \] Ответ: 14