Найти третью сторону треугольника: решение задачи

Задание: Две стороны треугольника равны \( 1 \) см и \( 5 \) см, а синус острого угла между ними равен \( \frac{3\sqrt{11}}{10} \). Найдите третью сторону треугольника. Решение для тетради: 1. Пусть стороны треугольника \( a = 1 \), \( b = 5 \), а угол между ними — \( \alpha \). Нам известно, что \( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{11}}{10} \). Для использования теоремы косинусов нам необходимо найти \( \cos \alpha \). 2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9 \cdot 11}{100} = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100} \] Так как по условию угол \( \alpha \) острый, то \( \cos \alpha \) положителен: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{100}} = 0,1 \] 3. Применим теорему косинусов для нахождения третьей стороны \( c \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \alpha \] \[ c^2 = 1^2 + 5^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 0,1 \] \[ c^2 = 1 + 25 - 10 \cdot 0,1 \] \[ c^2 = 26 - 1 \] \[ c^2 = 25 \] 4. Находим длину стороны: \[ c = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: 5