Решение: Периметр прямоугольного треугольника при R=3 и r=1

Задание: Пусть \( R \) и \( r \) — радиусы описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника. Найдите его периметр для \( R = 3 \) и \( r = 1 \). Решение для тетради: 1. Вспомним важные свойства прямоугольного треугольника: Радиус описанной окружности \( R \) равен половине гипотенузы \( c \): \[ R = \frac{c}{2} \implies c = 2R \] Радиус вписанной окружности \( r \) связан с катетами \( a, b \) и гипотенузой \( c \) формулой: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] 2. Найдем гипотенузу \( c \): \[ c = 2 \cdot 3 = 6 \] 3. Используем формулу радиуса вписанной окружности, чтобы найти сумму катетов \( a + b \): \[ 1 = \frac{a + b - 6}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ 2 = a + b - 6 \] \[ a + b = 8 \] 4. Периметр треугольника \( P \) — это сумма всех его сторон: \[ P = a + b + c \] Подставим найденные значения \( (a + b) = 8 \) и \( c = 6 \): \[ P = 8 + 6 = 14 \] Ответ: 14