Решение задачи: Найти площадь треугольника BMN

Задание: В треугольнике \( ABC \) проведены биссектрисы \( AM \) и \( CN \). Известно, что \( AC = 3 \), \( AN = 1 \), \( CM = 1,5 \). Найдите площадь треугольника \( BMN \). Решение для тетради: 1. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника (биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам). Для биссектрисы \( CN \): \[ \frac{AN}{NB} = \frac{AC}{BC} \implies \frac{1}{NB} = \frac{3}{BC} \implies BC = 3 \cdot NB \] Так как \( BC = BM + MC = BM + 1,5 \), получаем: \[ BM + 1,5 = 3 \cdot NB \quad (1) \] 2. Для биссектрисы \( AM \): \[ \frac{CM}{MB} = \frac{AC}{AB} \implies \frac{1,5}{MB} = \frac{3}{AB} \implies AB = 2 \cdot MB \] Так как \( AB = AN + NB = 1 + NB \), получаем: \[ 1 + NB = 2 \cdot MB \quad (2) \] 3. Решим систему уравнений (1) и (2): Из (2) выразим \( NB = 2 \cdot MB - 1 \) и подставим в (1): \[ MB + 1,5 = 3(2 \cdot MB - 1) \] \[ MB + 1,5 = 6 \cdot MB - 3 \] \[ 4,5 = 5 \cdot MB \implies MB = 0,9 \] Тогда \( NB = 2 \cdot 0,9 - 1 = 0,8 \). 4. Найдем стороны треугольника \( ABC \): \[ AB = 1 + 0,8 = 1,8 \] \[ BC = 0,9 + 1,5 = 2,4 \] \[ AC = 3 \] Заметим, что \( 1,8^2 + 2,4^2 = 3,24 + 5,76 = 9 = 3^2 \). Следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник \( ABC \) — прямоугольный с прямым углом \( B \). 5. Найдем площадь треугольника \( BMN \). Так как \( \angle B = 90^\circ \), площадь равна половине произведения катетов \( BM \) и \( BN \): \[ S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BN \] \[ S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot 0,9 \cdot 0,8 = 0,9 \cdot 0,4 = 0,36 \] Ответ: 0,36