Найти угол C треугольника по трем сторонам: Решение

Задание: Стороны треугольника равны \( AC = 5 \) см, \( BC = 2\sqrt{3} \) см и \( AB = \sqrt{7} \) см. Найдите \( \angle C \). Решение для тетради: 1. Для нахождения угла \( C \) воспользуемся теоремой косинусов для стороны, лежащей против этого угла (сторона \( AB \)): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \] 2. Выразим косинус угла \( C \) из этой формулы: \[ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \] 3. Подставим известные значения сторон: \[ AC^2 = 5^2 = 25 \] \[ BC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \] \[ AB^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \] 4. Вычислим значение косинуса: \[ \cos C = \frac{25 + 12 - 7}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3}} \] \[ \cos C = \frac{30}{20\sqrt{3}} \] \[ \cos C = \frac{3}{2\sqrt{3}} \] 5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ \cos C = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. Определим угол \( C \). Так как \( \cos C = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то: \[ \angle C = 30^\circ \] Ответ: 30