Решение задачи: Найти стороны треугольника по известной стороне, углу и отношению сторон

Дано: Треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). \(a = 3\sqrt{7}\) Угол между сторонами \(b\) и \(c\) равен \(\alpha = 60^{\circ}\). Отношение сторон \(b : c = 1 : 3\). Найти: Стороны \(b\) и \(c\). Решение: Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда: \(b = x\) \(c = 3x\) Воспользуемся теоремой косинусов: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\] Подставим известные значения в формулу: \[(3\sqrt{7})^2 = x^2 + (3x)^2 - 2 \cdot x \cdot 3x \cdot \cos(60^{\circ})\] Вычислим значения: \[9 \cdot 7 = x^2 + 9x^2 - 6x^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[63 = 10x^2 - 3x^2\] \[63 = 7x^2\] Найдем \(x^2\): \[x^2 = \frac{63}{7}\] \[x^2 = 9\] \[x = 3\] (так как длина стороны не может быть отрицательной) Теперь найдем длины сторон: \(b = x = 3\) \(c = 3x = 3 \cdot 3 = 9\) Ответ: 3; 9.