Решение задачи о трапеции: найдем сторону CD

Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(AD \parallel BC\)) \(AB = 5\) см \(BC = 9\) см \(AD = 16\) см \(\cos \angle A = \frac{1}{7}\) Найти: \(CD\) Решение: 1. Проведем из вершины \(B\) прямую, параллельную боковой стороне \(CD\), до пересечения с основанием \(AD\) в точке \(K\). 2. Полученный четырехугольник \(KBCD\) является параллелограммом по определению (так как \(BC \parallel KD\) и \(BK \parallel CD\)). 3. Из свойств параллелограмма следует: \(KD = BC = 9\) см \(BK = CD\) 4. Найдем отрезок \(AK\): \[AK = AD - KD = 16 - 9 = 7 \text{ см}\] 5. Рассмотрим треугольник \(ABK\). В нем известны две стороны и косинус угла между ними: \(AB = 5\) см \(AK = 7\) см \(\cos \angle A = \frac{1}{7}\) 6. По теореме косинусов для треугольника \(ABK\) найдем сторону \(BK\): \[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos \angle A\] \[BK^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7}\] \[BK^2 = 25 + 49 - 10\] \[BK^2 = 64\] \[BK = \sqrt{64} = 8 \text{ см}\] 7. Так как \(CD = BK\), то \(CD = 8\) см. Ответ: 8.