Решение задачи: Найти площадь треугольника DBC

Дано: Треугольник \(ABC\), точка \(D\) лежит на стороне \(AB\). \(AC = 5\) \(BC = 10\) \(\angle ACB = 135^{\circ}\) \(AD = DB\) (точка \(D\) — середина \(AB\)) Найти: \(S_{\triangle DBC}\) и квадрат этого значения. Решение: 1. Сначала найдем площадь всего треугольника \(ABC\). Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)\] Подставим значения: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(135^{\circ})\] Так как \(\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[S_{ABC} = 25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2}\] 2. Отрезок \(CD\) является медианой треугольника \(ABC\), так как \(D\) — середина \(AB\). Известно свойство медианы: медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники с равной площадью). Следовательно: \[S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} S_{ABC}\] \[S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{4}\] 3. В задаче требуется найти квадрат найденного значения площади: \[(S_{\triangle DBC})^2 = \left( \frac{25\sqrt{2}}{4} \right)^2\] \[(S_{\triangle DBC})^2 = \frac{25^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{4^2}\] \[(S_{\triangle DBC})^2 = \frac{625 \cdot 2}{16} = \frac{625}{8}\] Переведем в десятичную дробь: \[625 : 8 = 78,125\] Ответ: 78,125.