Решение задачи №5: Радиус вписанной окружности треугольника

Задание №5 Дано: Треугольник \(ABC\), в который вписана окружность. Точки касания: \(P\) на \(AB\), \(Q\) на \(BC\), \(R\) на \(AC\). \(AP = 8\), \(BQ = 6\), \(CR = 7\). Площадь треугольника \(S_{ABC} = 84\). Найти: \(r\) (радиус вписанной окружности). Решение: 1. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: \[AP = AR = 8\] \[BQ = BP = 6\] \[CR = CQ = 7\] 2. Найдем длины сторон треугольника \(ABC\): \[AB = AP + PB = 8 + 6 = 14\] \[BC = BQ + QC = 6 + 7 = 13\] \[AC = AR + RC = 8 + 7 = 15\] 3. Вычислим полупериметр \(p\) треугольника \(ABC\): \[p = \frac{AB + BC + AC}{2}\] \[p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\] 4. Воспользуемся формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности: \[S = p \cdot r\] Отсюда выразим радиус \(r\): \[r = \frac{S}{p}\] 5. Подставим известные значения: \[r = \frac{84}{21} = 4\] Ответ: \(r = 4\).