Решение Задания 22: График функции и прямая y=kx

Задание 22 Условие: Постройте график функции \( y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{1 - x} \) и определите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: \[ 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \] Область определения: \( D(y): x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \). 2. Упростим выражение функции на её области определения: \[ y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{-(x - 1)} \] Сократим на \( (x - 1) \), учитывая, что \( x \neq 1 \): \[ y = -(x^2 + 4) \] \[ y = -x^2 - 4 \] Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0; -4) \), у которой "выколота" точка с абсциссой \( x = 1 \). 3. Найдем координаты "выколотой" точки: Если \( x = 1 \), то \( y = -(1^2 + 4) = -5 \). Точка с координатами \( (1; -5) \) не принадлежит графику. 4. Построение графика: - Вершина параболы: \( (0; -4) \). - Дополнительные точки: при \( x = 2 \), \( y = -(2^2 + 4) = -8 \); при \( x = -1 \), \( y = -((-1)^2 + 4) = -5 \); при \( x = -2 \), \( y = -((-2)^2 + 4) = -8 \). - Не забудьте отметить пустую (выколотую) точку \( (1; -5) \). 5. Определим значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0; 0) \). Случай А: Прямая проходит через "выколотую" точку \( (1; -5) \). В этом случае у прямой и параболы будет только одна точка пересечения (так как вторая точка пересечения с параболой в \( x=1 \) отсутствует). Подставим координаты точки \( (1; -5) \) в уравнение прямой: \[ -5 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -5 \] Случай Б: Прямая касается параболы. Для этого уравнение \( kx = -x^2 - 4 \) должно иметь ровно одно решение. \[ x^2 + kx + 4 = 0 \] Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант \( D = 0 \): \[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 \] \[ k^2 - 16 = 0 \] \[ k^2 = 16 \Rightarrow k = 4 \text{ или } k = -4 \] Проверим абсциссы точек касания для этих \( k \): Если \( k = 4 \), то \( x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (подходит, так как \( -2 \neq 1 \)). Если \( k = -4 \), то \( x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (подходит, так как \( 2 \neq 1 \)). Ответ: \( k = -5 \); \( k = -4 \); \( k = 4 \).