Решение задач Варианта 2: Внутренняя энергия и работа газа

Решения задач Варианта 2: Уровень А Задача №1 Дано: \( V = 10 \text{ м}^3 \) \( p = 5 \cdot 10^5 \text{ Па} \) Газ одноатомный (\( i = 3 \)) Найти: \( U \) — ? Решение: Внутренняя энергия одноатомного идеального газа выражается через давление и объем формулой: \[ U = \frac{3}{2} pV \] Подставим значения: \[ U = \frac{3}{2} \cdot 5 \cdot 10^5 \cdot 10 = 1,5 \cdot 50 \cdot 10^5 = 75 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 7,5 \text{ МДж} \] Ответ: \( U = 7,5 \text{ МДж} \). Задача №2 Дано: \( p = 200 \text{ кПа} = 2 \cdot 10^5 \text{ Па} \) \( V_1 = 1,6 \text{ л} = 1,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \) \( V_2 = 2,6 \text{ л} = 2,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \) Найти: \( A \) — ? Решение: Работа газа при постоянном давлении определяется формулой: \[ A = p(V_2 - V_1) \] Вычислим: \[ A = 2 \cdot 10^5 \cdot (2,6 \cdot 10^{-3} - 1,6 \cdot 10^{-3}) \] \[ A = 2 \cdot 10^5 \cdot 1 \cdot 10^{-3} = 2 \cdot 10^2 = 200 \text{ Дж} \] Ответ: \( A = 200 \text{ Дж} \). Уровень В Задача №3 Дано: \( V_1 = 2,5 \text{ л} \) \( p_1 = 100 \text{ кПа} \) \( V_2 = \frac{V_1}{10} \) \( p_2 = 20 p_1 \) Азот — двухатомный газ (\( i = 5 \)) Найти: \( \Delta U \) — ? Решение: Внутренняя энергия двухатомного газа: \( U = \frac{5}{2} pV \). Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = U_2 - U_1 = \frac{5}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) \] Подставим условия \( V_2 = 0,1 V_1 \) и \( p_2 = 20 p_1 \): \[ \Delta U = \frac{5}{2} (20 p_1 \cdot 0,1 V_1 - p_1 V_1) = \frac{5}{2} (2 p_1 V_1 - p_1 V_1) = \frac{5}{2} p_1 V_1 \] Переведем единицы в СИ: \( V_1 = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \), \( p_1 = 10^5 \text{ Па} \). \[ \Delta U = 2,5 \cdot 10^5 \cdot 2,5 \cdot 10^{-3} = 2,5 \cdot 250 = 625 \text{ Дж} \] Ответ: \( \Delta U = 625 \text{ Дж} \). Задача №4 Дано: \( T_{н1} = 380 \text{ К} \) \( T_х = 280 \text{ К} \) \( \Delta T_н = 200 \text{ К} \) Найти: \( \frac{\eta_2}{\eta_1} \) — ? Решение: КПД идеальной тепловой машины (цикл Карно): \[ \eta = \frac{T_н - T_х}{T_н} \] 1) Начальный КПД: \[ \eta_1 = \frac{380 - 280}{380} = \frac{100}{380} = \frac{5}{19} \] 2) Конечная температура нагревателя: \( T_{н2} = 380 + 200 = 580 \text{ К} \). Конечный КПД: \[ \eta_2 = \frac{580 - 280}{580} = \frac{300}{580} = \frac{15}{29} \] 3) Найдем отношение: \[ \frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{15}{29} : \frac{5}{19} = \frac{15 \cdot 19}{29 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 19}{29} = \frac{57}{29} \approx 1,97 \] Ответ: КПД увеличится примерно в \( 1,97 \) раза.