Решение задачи: Треугольник Паскаля и C(7,2)

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольника Паскаля. Каждое число в нем получается путем сложения двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Часть 1: Нахождение седьмой строки треугольника Паскаля Нам дана шестая строка (индексация с нуля, \(n=6\)): \[1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1\] Чтобы получить седьмую строку (\(n=7\)), складываем соседние числа: 1) Первое число всегда \(1\). 2) \(1 + 6 = 7\) 3) \(6 + 15 = 21\) 4) \(15 + 20 = 35\) 5) \(20 + 15 = 35\) 6) \(15 + 6 = 21\) 7) \(6 + 1 = 7\) 8) Последнее число всегда \(1\). Получаем строку: \(1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1\). Верный вариант: первый в списке. Часть 2: Нахождение \(C_7^2\) Согласно условию, \(C_n^k\) — это элемент в строке \(n\) на позиции \(k\) (считая с нуля). В седьмой строке (\(1, 7, 21, 35, ...\)): - Нулевой элемент (\(k=0\)) равен \(1\). - Первый элемент (\(k=1\)) равен \(7\). - Второй элемент (\(k=2\)) равен \(21\). Проверим по формуле: \[C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21\] Ответ: 21 Запись в тетрадь: 1) Седьмая строка треугольника Паскаля получается из шестой: \(1, (1+6), (6+15), (15+20), (20+15), (15+6), (6+1), 1\) Строка: \(1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1\) 2) Находим \(C_7^2\) как второй элемент в этой строке (считая с нуля): \(C_7^2 = 21\) Ответ: 21.