Решение задач 6.32 и 6.33: Геометрический смысл определенного интеграла

Решение задач 6.32 и 6.33. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что если функция \( f(x) \ge 0 \), то интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью \( Ox \) и прямыми \( x=a, x=b \). Если функция принимает отрицательные значения, то площадь берется со знаком минус. 6.32 а) \(\int_{0}^{2} x dx\) График \( y = x \) на отрезке [0; 2] образует прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2. Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \). Ответ: 2. б) \(\int_{0}^{2} (-x) dx\) График \( y = -x \) лежит ниже оси \( Ox \). Образуется треугольник с катетами 2 и 2, но так как функция отрицательна, значение интеграла равно \( -S \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \). Ответ: -2. в) \(\int_{-4}^{0} x dx\) График \( y = x \) на отрезке [-4; 0] лежит ниже оси \( Ox \). Образуется треугольник с катетами 4 и 4. \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \). Так как функция отрицательна: Ответ: -8. г) \(\int_{0}^{4} x dx\) Треугольник с катетами 4 и 4 выше оси \( Ox \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \). Ответ: 8. д) \(\int_{1}^{3} (1 - x) dx\) На отрезке [1; 3] функция \( y = 1 - x \) отрицательна (кроме точки 1). Образуется прямоугольный треугольник с вершинами (1;0), (3;0) и (3;-2). Катеты равны 2 и 2. \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \). С учетом знака: Ответ: -2. е) \(\int_{-1}^{1} (2x + 2) dx\) На отрезке [-1; 1] функция \( y = 2x + 2 \ge 0 \). Образуется прямоугольный треугольник с вершинами (-1;0), (1;0) и (1;4). Катеты равны 2 (основание) и 4 (высота). \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \). Ответ: 4. 6.33 а) \(\int_{2}^{4} (1 - x) dx\) Функция \( y = 1 - x \) на [2; 4] отрицательна. Фигура — прямоугольная трапеция с основаниями \( |y(2)| = |1-2| = 1 \) и \( |y(4)| = |1-4| = 3 \), высота \( h = 4 - 2 = 2 \). \( S = \frac{1+3}{2} \cdot 2 = 4 \). С учетом знака: Ответ: -4. б) \(\int_{0}^{3} (2x + 1) dx\) Функция \( y = 2x + 1 > 0 \). Фигура — прямоугольная трапеция с основаниями \( y(0) = 1 \) и \( y(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \), высота \( h = 3 - 0 = 3 \). \( S = \frac{1+7}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \). Ответ: 12. в) \(\int_{2}^{3} (3x - 1) dx\) Функция \( y = 3x - 1 > 0 \). Фигура — прямоугольная трапеция с основаниями \( y(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5 \) и \( y(3) = 3 \cdot 3 - 1 = 8 \), высота \( h = 3 - 2 = 1 \). \( S = \frac{5+8}{2} \cdot 1 = 6,5 \). Ответ: 6,5.