Решение неравенств второй степени: x²-5x+6 ≥ 0 и 3x²-7x+4 > 0

Вариант 1 Решите неравенства второй степени с 1 переменной: 1) \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \) Решение: Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 5 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 6 \] Отсюда \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \). Разложим левую часть на множители: \[ (x - 2)(x - 3) \ge 0 \] Рассмотрим знаки на числовой прямой. Парабола ветвями направлена вверх, пересекает ось \( x \) в точках 2 и 3. Значения больше или равны нулю находятся по краям. Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) \) 2) \( 3x^2 - 7x + 4 > 0 \) Решение: Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 7x + 4 = 0 \). Вычислим дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6} \] \[ x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{6}{6} = 1 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 3 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство строгое, точки выколотые. Решением будут интервалы вне корней. Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (1\frac{1}{3}; +\infty) \) 3) \( (2x + 12)(x - 3)(4 - x) < 0 \) Решение: Найдем нули каждой скобки: 1) \( 2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -6 \) 2) \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) 3) \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \) Применим метод интервалов. Отметим точки -6, 3 и 4 на числовой прямой. Определим знак на крайнем правом интервале \( (4; +\infty) \). Возьмем \( x = 5 \): \( (2 \cdot 5 + 12)(5 - 3)(4 - 5) = 22 \cdot 2 \cdot (-1) = -44 \) (знак минус). Так как все корни кратности 1, знаки чередуются: На \( (4; +\infty) \) знак \( - \) На \( (3; 4) \) знак \( + \) На \( (-6; 3) \) знак \( - \) На \( (-\infty; -6) \) знак \( + \) Нам нужны интервалы со знаком \( - \). Ответ: \( x \in (-6; 3) \cup (4; +\infty) \)